حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{2}}{5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x + 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2 x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + 2 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{3 lim_{x \to 0} x + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1.1

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2.6.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2.6.1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.2.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6 x^{3}}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 6 lim_{x \to 0} x^{3}}$

خطوة 1.1.3.4

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

خطوة 1.1.3.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

خطوة 1.1.3.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 + 6 \cdot 0^{3}}$

خطوة 1.1.3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1.1

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 6 \cdot 0^{3}}$

خطوة 1.1.3.6.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 + 6 \cdot 0}$

خطوة 1.1.3.6.1.3

اضرب $6$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.1.3.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{2}}{5 x + 6 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $2$ في $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 + 4 x}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [5 x + 6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 6 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.7.3

اضرب $5$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]}$

خطوة 1.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

خطوة 1.3.8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 6 (3 x^{2})}$

خطوة 1.3.8.3

اضرب $3$ في $6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{5 + 18 x^{2}}$

خطوة 1.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x + 3}{18 x^{2} + 5}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x + lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

خطوة 2.3

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + 5}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{lim_{x \to 0} 18 x^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $18$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

خطوة 2.7

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 5}$

خطوة 2.8

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} x + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 3}{18 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 5}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{0 + 3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

خطوة 4.1.2

أضف $0$ و $3$ .

$\frac{3}{18 \cdot 0^{2} + 5}$

خطوة 4.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{3}{18 \cdot 0 + 5}$

خطوة 4.2.2

اضرب $18$ في $0$ .

$\frac{3}{0 + 5}$

خطوة 4.2.3

أضف $0$ و $5$ .

$\frac{3}{5}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{3}{5}$

الصيغة العشرية:

$0.6$