حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\sin^{2} (8 x)}$

خطوة 1

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (8 x)}$ إلى $\csc^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \csc^{2} (8 x)$

خطوة 2

أعِد كتابة $x^{2} \csc^{2} (8 x)$ بالصيغة $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 3

عيّن الحد في صورة حد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 4

احسِب قيمة الحد أيسر الجانب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 4.1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.2.1

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 4.1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 4.1.1.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 4.1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

خطوة 4.1.1.3.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ يقترب من $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 4.1.1.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 4.1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 4.1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

خطوة 4.1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

خطوة 4.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = \csc (8 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

خطوة 4.1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

خطوة 4.1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

خطوة 4.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 4.1.3.4.2

مشتق $\csc (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 4.1.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 4.1.3.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 4.1.3.6

ارفع $\csc (8 x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 4.1.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 4.1.3.8

اطرح $3$ من $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 4.1.3.9

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 4.1.3.10

اضرب $8$ في $2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 4.1.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

خطوة 4.1.3.12

اضرب $16$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

خطوة 4.1.3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.13.1

أعِد كتابة $\csc (8 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

خطوة 4.1.3.13.2

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

خطوة 4.1.3.13.3

أعِد كتابة $\cot (8 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

خطوة 4.1.3.13.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (8 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.13.4.1

أخرِج العامل $\sin (8 x)$ من $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

خطوة 4.1.3.13.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

خطوة 4.1.3.13.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

خطوة 4.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

خطوة 4.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

خطوة 4.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

خطوة 4.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

خطوة 4.1.5

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

خطوة 4.1.6

حوّل من $\frac{1}{\sin (8 x)}$ إلى $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

خطوة 4.1.7

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

خطوة 4.1.8

حوّل من $\frac{1}{\cos (8 x)}$ إلى $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

خطوة 4.1.9

اجمع $\frac{x}{8}$ و $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

خطوة 4.1.10

اجمع $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ و $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

خطوة 4.2

انقُل الحد $\frac{1}{8}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{-}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

خطوة 4.3

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ - 0.1 & 0.20008531 \\ - 0.01 & 0.12553493 \\ - 0.001 & 0.12500533 \\ - 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

خطوة 4.4

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0.125$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليسار تساوي $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

خطوة 4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $0.125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أخرِج العامل $0.125$ من $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

خطوة 4.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

خطوة 4.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{64}$

خطوة 5

عيّن الحد في صورة حد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 6

احسِب قيمة الحد أيمن الجانب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 6.1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.2.1

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 6.1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 6.1.1.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (8 x)}$

خطوة 6.1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (8 x)}}$

خطوة 6.1.1.3.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{\csc^{2} (8 x)}$ يقترب من $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 6.1.1.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 6.1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 6.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (8 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

خطوة 6.1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

خطوة 6.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (8 x)]}$

خطوة 6.1.3.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

خطوة 6.1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

خطوة 6.1.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) \frac{d}{d x} [\csc (8 x)]}$

خطوة 6.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 6.1.3.4.2

مشتق $\csc (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 6.1.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $8 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (8 x) (- \csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 6.1.3.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (8 x) (\csc (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 6.1.3.6

ارفع $\csc (8 x)$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (8 x) \csc^{- 3} (8 x)) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 6.1.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (8 x)}^{1 - 3} (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 6.1.3.8

اطرح $3$ من $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) (\cot (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

خطوة 6.1.3.9

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

خطوة 6.1.3.10

اضرب $8$ في $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 6.1.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x) \cdot 1}$

خطوة 6.1.3.12

اضرب $16$ في $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \csc^{- 2} (8 x) \cot (8 x)}$

خطوة 6.1.3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.13.1

أعِد كتابة $\csc (8 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 {(\frac{1}{\sin (8 x)})}^{- 2} \cot (8 x)}$

خطوة 6.1.3.13.2

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \cot (8 x)}$

خطوة 6.1.3.13.3

أعِد كتابة $\cot (8 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin^{2} (8 x) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

خطوة 6.1.3.13.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (8 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.3.13.4.1

أخرِج العامل $\sin (8 x)$ من $16 \sin^{2} (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

خطوة 6.1.3.13.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (8 x) (16 \sin (8 x)) \frac{\cos (8 x)}{\sin (8 x)}}$

خطوة 6.1.3.13.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

خطوة 6.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{16 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

خطوة 6.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16 \sin (8 x) \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

خطوة 6.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (8 \sin (8 x) \cos (8 x))}$

خطوة 6.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \sin (8 x) \cos (8 x)}$

خطوة 6.1.5

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \cdot \frac{1}{\sin (8 x)}$

خطوة 6.1.6

حوّل من $\frac{1}{\sin (8 x)}$ إلى $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8 \cos (8 x)} \csc (8 x)$

خطوة 6.1.7

افصِل الكسور.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \cdot \frac{1}{\cos (8 x)} \csc (8 x)$

خطوة 6.1.8

حوّل من $\frac{1}{\cos (8 x)}$ إلى $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{8} \sec (8 x) \csc (8 x)$

خطوة 6.1.9

اجمع $\frac{x}{8}$ و $\sec (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x)}{8} \csc (8 x)$

خطوة 6.1.10

اجمع $\frac{x \sec (8 x)}{8}$ و $\csc (8 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \sec (8 x) \csc (8 x)}{8}$

خطوة 6.2

انقُل الحد $\frac{1}{8}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0^{+}} x \sec (8 x) \csc (8 x)$

خطوة 6.3

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & x \sec (8 x) \csc (8 x) \\ 0.1 & 0.20008531 \\ 0.01 & 0.12553493 \\ 0.001 & 0.12500533 \\ 0.0001 & 0.12500005 \end{array}$

خطوة 6.4

عند اقتراب قيم $x$ من $0$ ، تقترب قيم الدالة من $0.125$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $x \sec (8 x) \csc (8 x)$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين تساوي $0.125$ .

$\frac{1}{8} \cdot 0.125$

خطوة 6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $0.125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

أخرِج العامل $0.125$ من $8$ .

$\frac{1}{0.125 (64)} \cdot 0.125$

خطوة 6.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{0.125 \cdot 64} \cdot 0.125$

خطوة 6.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{64}$

خطوة 7

بما أن الحد أيسر الجانب يساوي الحد أيمن الجانب، إذن الحد يساوي $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{64}$

الصيغة العشرية:

$0.015625$