حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}}{x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.8

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} 4 x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.9

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.10

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.10.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 \cdot 0} - \sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.10.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 2 \cdot 0} - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.11.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.11.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.11.1.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 - 4 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.11.1.4

اضرب $- 4$ في $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.11.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.11.1.6

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.11.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.11.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 - 4 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + 2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + 2 x}$ في صورة ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.12

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.13

أضف $0$ و $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.14

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.15

اجمع $\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.16

انقُل $2$ إلى يسار ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.17

انقُل ${(1 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.18

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3.19

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - 4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - 4 x}$ في صورة ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 1 - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 - 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - 4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 4 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.6

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 4 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.9

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.11.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.11.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.13

اضرب $- 4$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 4))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.14

اطرح $4$ من $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.15

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 4)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.16

اجمع $\frac{{(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 4}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.17

انقُل $- 4$ إلى يسار ${(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 4 \cdot {(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.18

انقُل ${(1 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 4}{2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.19

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.20

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.20.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot - 2}{2 ({(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.20.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 \cdot - 2}{2 {(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.20.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.22

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.23

اضرب $\frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{{(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

خطوة 1.4

حوّل الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة ${(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{1 + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{{(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة ${(1 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{1 - 4 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}}{1}$

خطوة 1.5

اقسِم $\frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.4

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} 2 x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.7

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.8

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.9

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.10

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - 4 x}}$

خطوة 2.11

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - 4 x}}$

خطوة 2.12

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 4 x}}$

خطوة 2.13

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} 4 x}}$

خطوة 2.14

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to 0} x}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

خطوة 4.1.1.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1}} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

خطوة 4.1.1.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{1}{1} + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

خطوة 4.1.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$1 + 2 \frac{1}{\sqrt{1 - 4 \cdot 0}}$

خطوة 4.1.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $- 4$ في $0$ .

$1 + 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

خطوة 4.1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$1 + 2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

خطوة 4.1.3.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$1 + 2 (\frac{1}{1})$

خطوة 4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 + 2 (\frac{1}{1})$

خطوة 4.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + 2 \cdot 1$

خطوة 4.1.5

اضرب $2$ في $1$ .

$1 + 2$

خطوة 4.2

أضف $1$ و $2$ .

$3$