حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 1

عيّن الحد في صورة حد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 2

احسِب قيم النهايات بالتعويض بقيمة المتغير.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد $\frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{9}{0^{0}} - \frac{5^{0}}{0}$ غير معرّفة، إذن لا توجد نهاية.

$لا يوجد$

خطوة 3

عيّن الحد في صورة حد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4

احسِب قيمة الحد أيمن الجانب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{9}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.1.2

انقُل الحد $9$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$9 lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.1.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$9 \frac{lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.1.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $x^{x}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{x})}$ .

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{x})}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.2.2

وسّع $\ln (x^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$9 \frac{1}{lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (x)}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.4

أعِد كتابة $x \ln (x)$ بالصيغة $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$9 \frac{1}{e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.1.2

عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\ln (x)$ بلا حدود.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.1.3

بما أن البسط عدد ثابت والقاسم يقترب من $0$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من قيمة غير متناهية.

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$9 \frac{1}{e^{\frac{- \infty}{\infty}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 4.5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.3.3

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- x^{- 2}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.3.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{2}}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 x^{2}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.5

اجمع $\frac{1}{x}$ و $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{2}}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.6

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x^{1}}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.6.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x}{1}}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.5.6.2.5

اقسِم $x$ على $1$ .

$9 \frac{1}{e^{lim_{x \to 0^{+}} - x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$9 \frac{1}{e^{- lim_{x \to 0^{+}} x}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$9 \frac{1}{e^{0}} - lim_{x \to 0^{+}} \frac{5^{x}}{x}$

خطوة 4.7

بما أن البسط موجب والقاسم $x$ يقترب من الصفر وأكبر من الصفر لـ $x$ بالقرب من $0$ على اليمين، تتزايد الدالة بلا حدود.

$9 \frac{1}{e^{0}} - \infty$

خطوة 4.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

خطوة 4.8.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 (\frac{1}{1}) - \infty$

خطوة 4.8.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$9 \cdot 1 - \infty$

خطوة 4.8.1.3

اضرب $9$ في $1$ .

$9 - \infty$

خطوة 4.8.1.4

حاصل ضرب الثابت غير الصفري في ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

$9 + - \infty$

خطوة 4.8.2

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$- \infty$

خطوة 5

إذا كان أي من الحدين أحاديي الجانب غير موجود، إذن لا يوجد حد.

$لا يوجد$