حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{4} + 8 x^{2}}{3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{4} + 8 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{4} + lim_{x \to 0} 8 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 8 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الأُس $4$ من $x^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 8 x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل الحد $8$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0^{4} + 8 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{5 \cdot 0^{4} + 8 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.7.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{5 \cdot 0 + 8 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.1.2

اضرب $5$ في $0$ .

$\frac{0 + 8 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 + 8 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.1.4

اضرب $8$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.2.7.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل الأُس $4$ من $x^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 16 x^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

انقُل الحد $16$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 lim_{x \to 0} x^{2}}$

خطوة 1.1.3.5

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{4} - 16 \cdot 0^{2}}$

خطوة 1.1.3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.7.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{3 \cdot 0 - 16 \cdot 0^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0}{0 - 16 \cdot 0^{2}}$

خطوة 1.1.3.7.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 - 16 \cdot 0}$

خطوة 1.1.3.7.1.4

اضرب $- 16$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 1.1.3.7.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.7.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.8

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{4} + 8 x^{2}}{3 x^{4} - 16 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{4} + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{4} + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{4} + 8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.3.3

اضرب $4$ في $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 8 (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $2$ في $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 16 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{4} - 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 16 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 16 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 16 x}{3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 16 x}{3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.6.3

اضرب $4$ في $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 16 x}{12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]}$

خطوة 1.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.7.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 16 x}{12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 1.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 16 x}{12 x^{3} - 16 (2 x)}$

خطوة 1.3.7.3

اضرب $2$ في $- 16$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 16 x}{12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} 20 x^{3} + 16 x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 20 x^{3} + lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل الحد $20$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{20 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2.3

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2.4

انقُل الحد $16$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{20 \cdot 0^{3} + 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{20 \cdot 0^{3} + 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{20 \cdot 0 + 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2.6.1.2

اضرب $20$ في $0$ .

$\frac{0 + 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2.6.1.3

اضرب $16$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.2.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - 32 x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 12 x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

خطوة 2.1.3.2

انقُل الحد $12$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{12 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

خطوة 2.1.3.3

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 32 x}$

خطوة 2.1.3.4

انقُل الحد $32$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{12 \cdot 0^{3} - 32 \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.6.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{12 \cdot 0 - 32 \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.6.1.2

اضرب $12$ في $0$ .

$\frac{0}{0 - 32 \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.6.1.3

اضرب $- 32$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 2.1.3.6.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.6.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.7

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{3} + 16 x}{12 x^{3} - 32 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{3} + 16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{3} + 16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 x^{3} + 16 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

خطوة 2.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

خطوة 2.3.3.3

اضرب $3$ في $20$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + \frac{d}{d x} [16 x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

خطوة 2.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $16 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

خطوة 2.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

خطوة 2.3.4.3

اضرب $16$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16}{\frac{d}{d x} [12 x^{3} - 32 x]}$

خطوة 2.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} - 32 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16}{\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

خطوة 2.3.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16}{12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

خطوة 2.3.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16}{12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

خطوة 2.3.6.3

اضرب $3$ في $12$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16}{36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x]}$

خطوة 2.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بما أن $- 32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 32 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16}{36 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16}{36 x^{2} - 32 \cdot 1}$

خطوة 2.3.7.3

اضرب $- 32$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{60 x^{2} + 16}{36 x^{2} - 32}$

خطوة 2.4

احذِف العامل المشترك لـ $60 x^{2} + 16$ و $36 x^{2} - 32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $60 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (15 x^{2}) + 16}{36 x^{2} - 32}$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (15 x^{2}) + 4 (4)}{36 x^{2} - 32}$

خطوة 2.4.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (15 x^{2}) + 4 (4)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (15 x^{2} + 4)}{36 x^{2} - 32}$

خطوة 2.4.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

أخرِج العامل $4$ من $36 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (15 x^{2} + 4)}{4 (9 x^{2}) - 32}$

خطوة 2.4.4.2

أخرِج العامل $4$ من $- 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (15 x^{2} + 4)}{4 (9 x^{2}) + 4 (- 8)}$

خطوة 2.4.4.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (9 x^{2}) + 4 (- 8)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (15 x^{2} + 4)}{4 (9 x^{2} - 8)}$

خطوة 2.4.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (15 x^{2} + 4)}{4 (9 x^{2} - 8)}$

خطوة 2.4.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{15 x^{2} + 4}{9 x^{2} - 8}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 15 x^{2} + 4}{lim_{x \to 0} 9 x^{2} - 8}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 15 x^{2} + lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 9 x^{2} - 8}$

خطوة 3.3

انقُل الحد $15$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{15 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 9 x^{2} - 8}$

خطوة 3.4

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 9 x^{2} - 8}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}{lim_{x \to 0} 9 x^{2} - 8}$

خطوة 3.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}{lim_{x \to 0} 9 x^{2} - lim_{x \to 0} 8}$

خطوة 3.7

انقُل الحد $9$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}{9 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 8}$

خطوة 3.8

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 8}$

خطوة 3.9

احسِب قيمة حد $8$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{15 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{15 \cdot 0^{2} + 4}{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 8}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{15 \cdot 0^{2} + 4}{9 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 8}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{15 \cdot 0 + 4}{9 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 8}$

خطوة 5.1.2

اضرب $15$ في $0$ .

$\frac{0 + 4}{9 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 8}$

خطوة 5.1.3

أضف $0$ و $4$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 8}$

خطوة 5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{4}{9 \cdot 0 - 1 \cdot 8}$

خطوة 5.2.2

اضرب $9$ في $0$ .

$\frac{4}{0 - 1 \cdot 8}$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\frac{4}{0 - 8}$

خطوة 5.2.4

اطرح $8$ من $0$ .

$\frac{4}{- 8}$

خطوة 5.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $- 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (1)}{- 8}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

خطوة 5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{- 2}$

خطوة 5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$- 0.5$