حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{2 x}$

خطوة 1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

انقُل الأُس $2$ من $\tan^{2} (3 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \tan (3 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.1.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \tan (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.3.2

مشتق $\tan (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.5

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.7

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.8

أعِد ترتيب عوامل $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)}{1}$

خطوة 2.4

اقسِم $6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ على $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 6 \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

خطوة 3.3

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (3 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2} \cdot 6 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

خطوة 3.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

خطوة 3.5

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (3 x)$

خطوة 3.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} 3 x)$

خطوة 3.7

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 6 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (3)) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

خطوة 5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 3) \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

خطوة 5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 \sec^{2} (3 \cdot 0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

خطوة 5.2

اضرب $3$ في $0$ .

$3 \sec^{2} (0) \cdot \tan (3 \cdot 0)$

خطوة 5.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$3 \cdot 1^{2} \cdot \tan (3 \cdot 0)$

خطوة 5.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 \cdot 1 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

خطوة 5.5

اضرب $3$ في $1$ .

$3 \cdot \tan (3 \cdot 0)$

خطوة 5.6

اضرب $3$ في $0$ .

$3 \cdot \tan (0)$

خطوة 5.7

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$3 \cdot 0$

خطوة 5.8

اضرب $3$ في $0$ .

$0$