حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد $\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $t^{\frac{1}{2}}$ من $t^{\frac{1}{2}} + t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $t^{\frac{1}{2}}$ من $t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $t^{\frac{1}{2}}$ من $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{3}{2}})}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + t^{\frac{3}{2}})}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة $t^{\frac{3}{2}}$ بالصيغة ${(t^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1^{3} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{3})}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.5

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1^{2} - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - 1 t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.6.2

أعِد كتابة $- 1 t^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $- t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}))}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.6.3

اضرب الأُسس في ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2} \cdot 2}))}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.6.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t^{1}))}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.1.6.4

بسّط.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} ((1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t))}{2 t - t^{2}}$

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{2 t - t^{2}}$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $t$ من $2 t - t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $t$ من $2 t$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 2 - t^{2}}$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $t$ من $- t^{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t \cdot 2 + t (- t)}$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $t$ من $t \cdot 2 + t (- t)$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (2 - t)}$

خطوة 2.3

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t (2 - t) t^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 2.4

اضرب $t$ في $t^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t (2 - t)}$

خطوة 2.4.2

اضرب $t^{- \frac{1}{2}}$ في $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} (2 - t)}$

خطوة 2.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + 1} (2 - t)}$

خطوة 2.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (2 - t)}$

خطوة 2.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} (2 - t)}$

خطوة 2.4.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{(1 + t^{\frac{1}{2}}) (1 - t^{\frac{1}{2}} + t)}{t^{\frac{1}{2}} (2 - t)}$