حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x}$

خطوة 1

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لكتابة $\frac{1}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x}$

خطوة 1.1.2

لكتابة $- \frac{2}{x^{2} + 2 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x} - \frac{2}{x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 1.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $x (x^{2} + 2 x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} + 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2}{x^{2} + 2 x} \cdot \frac{x}{x}$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $\frac{2}{x^{2} + 2 x}$ في $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2 x}{(x^{2} + 2 x) x}$

خطوة 1.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x^{2} + 2 x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x}{x (x^{2} + 2 x)} - \frac{2 x}{x (x^{2} + 2 x)}$

خطوة 1.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 2 x - 2 x}{x (x^{2} + 2 x)}$

خطوة 1.1.5

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} + 0}{x (x^{2} + 2 x)}$

خطوة 1.1.6

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{x (x^{2} + 2 x)}$

خطوة 1.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + 2 x)}$

خطوة 1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{x (x^{2} + 2 x)}$

خطوة 1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 2 x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 2.1.3.2

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 x}$

خطوة 2.1.3.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 2 \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.5.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

خطوة 2.1.3.5.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.5.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [2 x]}$

خطوة 2.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 2}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

خطوة 3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

خطوة 3.4

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

خطوة 3.5

احسِب قيمة حد $2$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 + 2}$

خطوة 5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1}{0 + 2}$

خطوة 5.2

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$