حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} + 3 x}{x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} + 3 x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل الأُس $4$ من $x^{4}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 3 x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0^{4} + 3 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0^{4} + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.5.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.5.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} + 3 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.3

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 3}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 3}{1}$

خطوة 1.4

اقسِم $4 x^{3} + 3$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 3$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 3$

خطوة 2.2

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 3$

خطوة 2.3

انقُل الأُس $3$ من $x^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 3$

خطوة 2.4

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 3$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + 3$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 \cdot 0 + 3$

خطوة 4.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$0 + 3$

خطوة 4.2

أضف $0$ و $3$ .

$3$