حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} - \frac{1}{x}$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لكتابة $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

خطوة 1.2

لكتابة $- \frac{1}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

خطوة 1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x \sqrt{1} + x) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ في $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

خطوة 1.3.2

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x \sqrt{1} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} x - (x \sqrt{1} + x)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة حد $x - (x \sqrt{1} + x)$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0 - (0 \sqrt{1} + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 2.1.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1.1

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{0 - (0 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 2.1.2.2.1.2

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 2.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 2.1.2.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 2.1.2.3

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + x}$

خطوة 2.1.3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2.1.3.3

انقُل الحد $\sqrt{1}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2.1.3.4.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}$

خطوة 2.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1.1

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 \cdot 0 + 0)}$

خطوة 2.1.3.5.1.2

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

خطوة 2.1.3.5.2

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.5.3

اضرب $0$ في $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.5.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \cdot 1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.3

أضف $x$ و $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.6.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.6.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.7

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

خطوة 2.3.8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 1 + x)]}$

خطوة 2.3.8.2

اضرب $x$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}$

خطوة 2.3.9

أضف $x$ و $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (2 x)]}$

خطوة 2.3.10

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x)]}$

خطوة 2.3.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x^{1})]}$

خطوة 2.3.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{1 + 1}]}$

خطوة 2.3.13

أضف $1$ و $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

خطوة 2.3.14

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

خطوة 2.3.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 x)}$

خطوة 2.3.16

اضرب $2$ في $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

خطوة 3

بما أن الدالة تقترب بمقدار $\infty$ من اليسار بينما تقترب بمقدار $- \infty$ من اليمين، إذن لا توجد نهاية.

$لا يوجد$