حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

lim x \to 0 \frac{x csc (2 x)}{cos (5 x)}

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب

$x$ من

$0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

خطوة 1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

خطوة 1.3

انقُل الحد

$5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى

$x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة حد

$x$ بالتعويض عن

$x$ بـ

$0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 3

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

خطوة 4

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة

$x \csc (2 x)$ عند اقتراب

$x$ من

$0$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

خطوة 5

عند اقتراب قيم

$x$ من

$0$ ، تقترب قيم الدالة من

$0.5$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية

$x \csc (2 x)$ عند اقتراب

$x$ من

$0$ من جهة اليسار تساوي

$0.5$ .

$0.5$

خطوة 6

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

خطوة 7

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة

$x \csc (2 x)$ عند اقتراب

$x$ من

$0$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

خطوة 8

عند اقتراب قيم

$x$ من

$0$ ، تقترب قيم الدالة من

$0.5$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية

$x \csc (2 x)$ عند اقتراب

$x$ من

$0$ من جهة اليمين تساوي

$0.5$ .

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افصِل الكسور.

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

خطوة 9.2

حوّل من

$\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ إلى

$\sec (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

خطوة 9.3

اضرب

$5$ في

$0$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

خطوة 9.4

ألغِ العامل المشترك لـ

$0.5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

خطوة 9.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sec (0)}{2}$

خطوة 9.5

القيمة الدقيقة لـ

$\sec (0)$ هي

$1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$