حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{2 x}$

خطوة 1

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (- \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} - \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.1.2

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.1.3

انقُل الحد $\frac{π}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- 0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = - \frac{π x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.3

بما أن $- \frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{π x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \cdot - 1 \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4

اجمع $\cos (- \frac{π x}{2})$ و $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

بما أن $\cos (- \frac{π x}{2})$ دالة زوجية، أعِد كتابة $\cos (- \frac{π x}{2})$ في صورة $\cos (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.7.2

أعِد ترتيب العوامل في $\cos (\frac{π x}{2}) π$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{1}$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

خطوة 2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

خطوة 3.2

انقُل الحد $\frac{π}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} lim_{x \to 0} \cos (\frac{π x}{2})$

خطوة 3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})$

خطوة 3.4

انقُل الحد $\frac{π}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

خطوة 5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

خطوة 5.3

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

خطوة 5.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

خطوة 5.4

اضرب $\frac{π}{2}$ في $0$ .

$- \frac{π}{4} \cos (0)$

خطوة 5.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{π}{4} \cdot 1$

خطوة 5.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{π}{4}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{π}{4}$

الصيغة العشرية:

$- 0.78539816 \dots$