حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

اضرب $3$ في $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.2.6.4

اضرب $0$ في $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (3 x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.7

اضرب $3$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.8

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (- \sin (x)) + 3 \cdot (\cos (x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.9

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)}{1}$

خطوة 1.4

اقسِم $- \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (x) \sin (3 x) + 3 \cos (x) \cos (3 x)$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

خطوة 2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

خطوة 2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

خطوة 2.5

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x)$

خطوة 2.6

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)$

خطوة 2.7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

خطوة 2.8

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

خطوة 2.9

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

خطوة 2.10

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

خطوة 3.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.3

اضرب $3$ في $0$ .

$0 \cdot \sin (0) + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0 \cdot 0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.5

اضرب $0$ في $0$ .

$0 + 3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.7

اضرب $3$ في $1$ .

$0 + 3 \cdot \cos (3 \cdot 0)$

خطوة 4.1.8

اضرب $3$ في $0$ .

$0 + 3 \cdot \cos (0)$

خطوة 4.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

خطوة 4.1.10

اضرب $3$ في $1$ .

$0 + 3$

خطوة 4.2

أضف $0$ و $3$ .

$3$