حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} {\tan (2 x)}^{x}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${\tan (2 x)}^{x}$ بالصيغة $e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({\tan (2 x)}^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

خطوة 2

عيّن الحد في صورة حد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

خطوة 3

احسِب قيم النهايات بالتعويض بقيمة المتغير.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $e^{x \ln (\tan (2 x))}$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{0 \ln (\tan (2 \cdot 0))}$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $0$ .

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

خطوة 3.4

بما أن $e^{0 \ln (0)}$ غير معرّفة، إذن لا توجد نهاية.

$لا يوجد$

خطوة 4

عيّن الحد في صورة حد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

خطوة 5

احسِب قيمة الحد أيمن الجانب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (2 x))}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة $x \ln (\tan (2 x))$ بالصيغة $\frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}}$

خطوة 5.3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (2 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.3.1.2

عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، تتناقص $\ln (\tan (2 x))$ بلا حدود.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

خطوة 5.3.1.3

بما أن البسط عدد ثابت والقاسم يقترب من $0$ عند اقتراب $x$ من $0$ من جهة اليمين، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من قيمة غير متناهية.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

خطوة 5.3.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

خطوة 5.3.2

بما أن $\frac{- \infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

خطوة 5.3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \tan (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.3

أعِد كتابة $\tan (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.5

اكتب $1$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.6.1

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.6.2

اضرب $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.7.2

مشتق $\tan (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.8

اجمع $\sec^{2} (2 x)$ و $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.10

اجمع $2$ و $\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.12

اضرب $\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.13.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.13.1.1

أعِد كتابة $\sec (2 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.13.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.13.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.13.1.4

اجمع $2$ و $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.13.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.13.1.5.1

أخرِج العامل $\cos (2 x)$ من $\cos^{2} (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.13.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.13.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.13.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.13.2.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}$ في صورة حاصل ضرب.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.13.2.2

اضرب $\frac{2}{\cos (2 x)}$ في $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

خطوة 5.3.3.14

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

خطوة 5.3.3.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- x^{- 2}}}$

خطوة 5.3.3.16

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 5.3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

خطوة 5.3.5

اجمع $\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}$ و $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

خطوة 5.4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

خطوة 5.4.2

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

خطوة 5.5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

خطوة 5.5.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.2.1

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{- 2 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

خطوة 5.5.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{- 2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

خطوة 5.5.1.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

خطوة 5.5.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

خطوة 5.5.1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

خطوة 5.5.1.3.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

خطوة 5.5.1.3.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

خطوة 5.5.1.3.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

خطوة 5.5.1.3.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.3.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

خطوة 5.5.1.3.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

خطوة 5.5.1.3.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.3.7.1

اضرب $2$ في $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

خطوة 5.5.1.3.7.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

خطوة 5.5.1.3.7.3

اضرب $\sin (2 \cdot 0)$ في $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}}$

خطوة 5.5.1.3.7.4

اضرب $2$ في $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (0)}}$

خطوة 5.5.1.3.7.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

خطوة 5.5.1.3.7.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

خطوة 5.5.1.3.8

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

خطوة 5.5.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

خطوة 5.5.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}$

خطوة 5.5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (2 x)$ و $g (x) = \sin (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.4.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.5

ارفع $\cos (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.6

ارفع $\cos (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.11

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.12

انقُل $2$ إلى يسار $\cos^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

خطوة 5.5.3.13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.13.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}}$

خطوة 5.5.3.13.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

خطوة 5.5.3.13.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

خطوة 5.5.3.14

ارفع $\sin (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

خطوة 5.5.3.15

ارفع $\sin (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

خطوة 5.5.3.16

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}}$

خطوة 5.5.3.17

أضف $1$ و $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

خطوة 5.5.3.18

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 5.5.3.19

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

خطوة 5.5.3.20

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

خطوة 5.5.3.21

اضرب $- 2$ في $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cos^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.5.4.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sin^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \cdot - 1 \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.5.4.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (- \sin^{2} (2 x))$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

خطوة 5.5.4.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

خطوة 5.5.4.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.6.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.6.3

انقُل الأُس $2$ من $\cos^{2} (2 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.6.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.6.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

خطوة 5.6.6

انقُل الأُس $2$ من $\sin^{2} (2 x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x))}^{2}}}$

خطوة 5.6.7

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

خطوة 5.6.8

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

خطوة 5.7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

خطوة 5.7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

خطوة 5.7.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 5.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 5.8.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 5.8.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

خطوة 5.8.1.4

اضرب $2$ في $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

خطوة 5.8.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

خطوة 5.8.1.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0}}$

خطوة 5.8.1.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 + 0}}$

خطوة 5.8.1.8

أضف $1$ و $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{1})}$

خطوة 5.8.2

اقسِم $0$ على $1$ .

$e^{- 2 \cdot 0}$

خطوة 5.8.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$e^{0}$

خطوة 5.9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1$

خطوة 6

إذا كان أي من الحدين أحاديي الجانب غير موجود، إذن لا يوجد حد.

$لا يوجد$