حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sec (x)}{x}$

خطوة 1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)}}{x}$

خطوة 1.2

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

خطوة 2

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

خطوة 3.4

اقسِم $\sec^{2} (x)$ على $1$ .

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

خطوة 4.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\sec^{2} (0)$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$1^{2}$

خطوة 6.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1$