حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{4 x}$

خطوة 1

انقُل الحد $\frac{1}{4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

خطوة 2.4

اقسِم $\sec^{2} (x)$ على $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

خطوة 3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\frac{1}{4} \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{4} \sec^{2} (0)$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{2}$

خطوة 5.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

خطوة 5.3

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.25$