حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{3 x}$

خطوة 1

انقُل الحد $\frac{1}{3}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \arctan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.2

عوّض بـ $t$ عن $2 x$ وافترض أن $t$ تقترب من $0$ بما أن $lim_{x \to 0} 2 x = 0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 0} \arctan (t)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $t$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4

طبّق قاعدة الضرب على $2 (x)$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.7

اجمع $2$ و $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.9

اضرب $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.10

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{4 x^{2} + 1}}{1}$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1} \cdot 1$

خطوة 2.5

اضرب $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2}{4 x^{2} + 1}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 x^{2} + 1}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + 1}$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 4 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 3.5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 3.6

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $2$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0^{2} + 1}$

خطوة 5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 0 + 1}$

خطوة 5.2.2

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

خطوة 5.2.3

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{3} \cdot 1$

خطوة 5.4

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{3}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{6}$