حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan^{2} (x)}{x}$

خطوة 1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

انقُل الأُس $2$ من $\tan^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.1.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$2 \frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$2 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \tan (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.3

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.4

أعِد ترتيب عوامل $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{1}$

خطوة 2.4

اقسِم $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ على $1$ .

$2 lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

خطوة 3.3

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$2 \cdot 2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

خطوة 3.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$2 \cdot 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

خطوة 3.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$2 \cdot 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cdot 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$2 \cdot 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0)$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0)$

خطوة 5.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$4 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0)$

خطوة 5.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 \cdot 1 \cdot \tan (0)$

خطوة 5.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4 \cdot \tan (0)$

خطوة 5.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$4 \cdot 0$

خطوة 5.6

اضرب $4$ في $0$ .

$0$