حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = - 2 x$ . إذن $d u = - 2 d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = - 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $- 2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 3.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

خطوة 7

اجمع $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ و $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 2 t$ وفي $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

خطوة 8.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

خطوة 9

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

خطوة 9.1.2

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

خطوة 9.1.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 9.2

بما أن الأُس $- 2 t$ يقترب من $- \infty$ ، إذن الكمية $e^{- 2 t}$ تقترب من $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 9.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 9.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

خطوة 9.3.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 9.3.2.3

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

خطوة 9.3.2.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$