حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

خطوة 1.1.2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

خطوة 1.1.3.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 1.3.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 1.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.3.5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1}$

خطوة 1.3.6

اطرح $1$ من $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 1}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 1}$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{1}{x}$ في $\frac{1}{- 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \cdot - 1}$

خطوة 1.6

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1)}{x \cdot - 1}$

خطوة 1.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{x}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$- \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

خطوة 2.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$- \frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$- \frac{1}{1}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{1}$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 1$

خطوة 4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$