حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

خطوة 1.1.2.1.2

انقُل الأُس $a$ من $x^{a}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

خطوة 1.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{1^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

خطوة 1.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

خطوة 1.1.2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

خطوة 1.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

خطوة 1.1.3.1.2

انقُل الأُس $b$ من $x^{b}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

خطوة 1.1.3.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{0}{1^{b} - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

خطوة 1.1.3.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{a} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

خطوة 1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $a x^{a - 1}$ و $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

خطوة 1.3.5.2

أعِد ترتيب عوامل $a x^{a - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a - 1} a}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

خطوة 1.3.5.3

أعِد ترتيب العوامل في $x^{a - 1} a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

خطوة 1.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{b} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 1.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = b$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

خطوة 1.3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + 0}$

خطوة 1.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.9.1

أضف $b x^{b - 1}$ و $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

خطوة 1.3.9.2

أعِد ترتيب عوامل $b x^{b - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{x^{b - 1} b}$

خطوة 1.3.9.3

أعِد ترتيب العوامل في $x^{b - 1} b$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

خطوة 1.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{a - 1}$ و $x^{b - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $x^{b - 1}$ من $a x^{a - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{b x^{b - 1}}$

خطوة 1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $x^{b - 1}$ من $b x^{b - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

خطوة 1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

خطوة 1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1 - (b - 1)}}{b}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $\frac{a}{b}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{a}{b} lim_{x \to 1} x^{a - 1 - (b - 1)}$

خطوة 2.2

انقُل الأُس $a - 1 - (b - 1)$ من $x^{a - 1 - (b - 1)}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{a}{b} {(lim_{x \to 1} x)}^{a - 1 - (b - 1)}$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - (b - 1)}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b - - 1}$

خطوة 4.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b + 1}$

خطوة 4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $a - 1 - b + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b + 0}$

خطوة 4.2.2

أضف $a - b$ و $0$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b}$

خطوة 4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{a}{b} \cdot 1$

خطوة 4.4

اضرب $\frac{a}{b}$ في $1$ .

$\frac{a}{b}$