حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = - 2 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$4 x - x^{2} = - 2 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x - x^{2} = - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أضف $2 x$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x - x^{2} + 2 x = 0$

خطوة 1.2.1.2

أضف $4 x$ و $2 x$ .

$- x^{2} + 6 x = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2} + 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $- x$ من $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0 + y = - 2 x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- x (x - 6) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 6$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = - 2 \cdot 0$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $0$ عن $x$ في $y = - 2 \cdot 0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 2 \cdot 0$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $6$ .

$y = - 2 \cdot 6$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $6$ عن $x$ في $y = - 2 \cdot 6$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 2 \cdot 6$

خطوة 1.4.2.2

اضرب $- 2$ في $6$ .

$y = - 12$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(6, - 12)$

$(0, 0)$

$(6, - 12)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $4 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{6} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{6} - 2 x d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{6} - x^{2} + 4 x - (- 2 x) d x$

خطوة 4.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{6} - x^{2} + 4 x + 2 x d x$

خطوة 4.3

أضف $4 x$ و $2 x$ .

$\int_{0}^{6} - x^{2} + 6 x d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{6} - x^{2} d x + \int_{0}^{6} 6 x d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} 6 x d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 6 x d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + \int_{0}^{6} 6 x d x$

خطوة 4.8

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + 6 \int_{0}^{6} x d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6})$

خطوة 4.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{6}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6})$

خطوة 4.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $6$ وفي $0$ .

$- ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{6})$

خطوة 4.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $6$ وفي $0$ .

$- (\frac{6^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.1

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{216}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$- (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{72}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.2.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$- (72 - \frac{0^{3}}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (72 - \frac{0}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.4.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (72 - \frac{3 (0)}{3}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (72 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (72 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (72 - \frac{0}{1}) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (72 - 0) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (72 + 0) + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.6

أضف $72$ و $0$ .

$- 1 \cdot 72 + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.7

اضرب $- 1$ في $72$ .

$- 72 + 6 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.8

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$- 72 + 6 (\frac{36}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$- 72 + 6 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 72 + 6 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 72 + 6 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 72 + 6 (\frac{18}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.9.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$- 72 + 6 (18 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 72 + 6 (18 - \frac{0}{2})$

خطوة 4.10.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.11.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- 72 + 6 (18 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 4.10.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 72 + 6 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.10.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 72 + 6 (18 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.10.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 72 + 6 (18 - \frac{0}{1})$

خطوة 4.10.2.3.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 72 + 6 (18 - 0)$

خطوة 4.10.2.3.12

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 72 + 6 (18 + 0)$

خطوة 4.10.2.3.13

أضف $18$ و $0$ .

$- 72 + 6 \cdot 18$

خطوة 4.10.2.3.14

اضرب $6$ في $18$ .

$- 72 + 108$

خطوة 4.10.2.3.15

أضف $- 72$ و $108$ .

$36$

خطوة 5