حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = - 3$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$2 x - x^{2} = - 3$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - x^{2} = - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x - x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أعِد ترتيب $2 x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

خطوة 1.2.2.1.4

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

خطوة 1.2.2.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

خطوة 1.2.2.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 2 x - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 3, 1 + y = - 3$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0 + y = - 3$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 3) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 3, - 1$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $3$ .

$y = - 3$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

$(3, - 3)$

$(- 1, - 3)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $2 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{3} - 3 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 1$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x - (- 3) d x$

خطوة 4.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} + 2 x + 3 d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 1}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 1}^{3} x^{2} d x + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 2 x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

خطوة 4.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 \int_{- 1}^{3} x d x + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

خطوة 4.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d x$

خطوة 4.10

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

خطوة 4.11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $3$ وفي $- 1$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

خطوة 4.11.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $3$ وفي $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{3}$

خطوة 4.11.3

احسِب قيمة $3 x$ في $3$ وفي $- 1$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.2.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- (9 - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (9 - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.6

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- (9 + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.7

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.8

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.10.1

اضرب $9$ في $3$ .

$- \frac{27 + 1}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.10.2

أضف $27$ و $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.11

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.12

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{9 - 1}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.14

اطرح $1$ من $9$ .

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{8}{2}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.15

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.15.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.15.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{28}{3} + 2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{28}{3} + 2 (\frac{4}{1}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.15.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$- \frac{28}{3} + 2 \cdot 4 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.16

اضرب $2$ في $4$ .

$- \frac{28}{3} + 8 + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.17

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.18

اجمع $8$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{28}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 28 + 8 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.20

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.20.1

اضرب $8$ في $3$ .

$\frac{- 28 + 24}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.20.2

أضف $- 28$ و $24$ .

$\frac{- 4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.22

اضرب $3$ في $3$ .

$- \frac{4}{3} + 9 - 3 \cdot - 1$

خطوة 4.11.4.23

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 9 + 3$

خطوة 4.11.4.24

أضف $9$ و $3$ .

$- \frac{4}{3} + 12$

خطوة 4.11.4.25

لكتابة $12$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.11.4.26

اجمع $12$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.11.4.27

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 4 + 12 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.11.4.28

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.4.28.1

اضرب $12$ في $3$ .

$\frac{- 4 + 36}{3}$

خطوة 4.11.4.28.2

أضف $- 4$ و $36$ .

$\frac{32}{3}$

خطوة 5