حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x^{2} - 4$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$2 x - x^{2} = x^{2} - 4$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - x^{2} = x^{2} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x - x^{2} - x^{2} = - 4$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$2 x - 2 x^{2} = - 4$

خطوة 1.2.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x - 2 x^{2} + 4 = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج العامل $- 2$ من $2 x - 2 x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

أعِد ترتيب $2 x$ و $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

خطوة 1.2.3.1.2

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

خطوة 1.2.3.1.3

أخرِج العامل $- 2$ من $2 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- x) + 4 = 0$

خطوة 1.2.3.1.4

أخرِج العامل $- 2$ من $4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.2.3.1.5

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 (x^{2}) - 2 (- x)$ .

$- 2 (x^{2} - x) - 2 \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.2.3.1.6

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 (x^{2} - x) - 2 (- 2)$ .

$- 2 (x^{2} - x - 2) = 0$

خطوة 1.2.3.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

حلّل $x^{2} - x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 2, 1 + y = x^{2} - 4$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- 2 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$

خطوة 1.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2} - 4$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 2 (x - 2) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 1$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = {(2)}^{2} - 4$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $2$ عن $x$ في $y = {(2)}^{2} - 4$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2^{2} - 4$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $2^{2} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = 4 - 4$

خطوة 1.3.2.2.2

اطرح $4$ من $4$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{2} - 4$

خطوة 1.4.2

بسّط ${(- 1)}^{2} - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = 1 - 4$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $4$ من $1$ .

$y = - 3$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

$(2, 0)$

$(- 1, - 3)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $2 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} - 4 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 1$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - (x^{2} - 4) d x$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- x^{2} + 2 x - x^{2} - - 4$

خطوة 4.2.2

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$- x^{2} + 2 x - x^{2} + 4$

$\int_{- 1}^{2} - x^{2} + 2 x - x^{2} + 4 d x$

خطوة 4.3

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} + 2 x + 4 d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 1}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

خطوة 4.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 4 d x$

خطوة 4.11

طبّق قاعدة الثابت.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

خطوة 4.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $- 1$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

خطوة 4.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{2}$

خطوة 4.12.3

احسِب قيمة $4 x$ في $2$ وفي $- 1$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 2 (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.5

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 2 \frac{8 + 1}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.7

أضف $8$ و $1$ .

$- 2 (\frac{9}{3}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.8

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.8.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (\frac{3}{1}) + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.8.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$- 2 \cdot 3 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.9

اضرب $- 2$ في $3$ .

$- 6 + 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- 6 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.11

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.11.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.11.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.12

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 6 + 2 (2 - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.13

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.14

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 6 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 6 + 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.16.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- 6 + 2 \frac{4 - 1}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.16.2

اطرح $1$ من $4$ .

$- 6 + 2 (\frac{3}{2}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.17

اجمع $2$ و $\frac{3}{2}$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.18

اضرب $2$ في $3$ .

$- 6 + \frac{6}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.19

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.19.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.19.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.4.19.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.19.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 6 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.19.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 6 + \frac{3}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.19.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$- 6 + 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.20

أضف $- 6$ و $3$ .

$- 3 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.21

اضرب $4$ في $2$ .

$- 3 + 8 - 4 \cdot - 1$

خطوة 4.12.4.22

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$- 3 + 8 + 4$

خطوة 4.12.4.23

أضف $8$ و $4$ .

$- 3 + 12$

خطوة 4.12.4.24

أضف $- 3$ و $12$ .

$9$

خطوة 5