حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 16 x - x^{2}$ , $y = 0$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$16 x - x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $16 x - x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$16 u - u^{2} = 0$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $u$ من $16 u - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

أخرِج العامل $u$ من $16 u$ .

$u \cdot 16 - u^{2} = 0$

خطوة 1.2.1.2.2

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$u \cdot 16 + u (- u) = 0$

خطوة 1.2.1.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 16 + u (- u)$ .

$u (16 - u) = 0$

خطوة 1.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$x (16 - x) = 0$

خطوة 1.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$16 - x = 0 + y = 0$

خطوة 1.2.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $16 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $16 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$16 - x = 0$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $16 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 16$

خطوة 1.2.4.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 16$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 16$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.4.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 1.2.4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.2.3.1

اقسِم $- 16$ على $- 1$ .

$x = 16$

خطوة 1.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (16 - x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 16$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(16, 0)$

$(0, 0)$

$(16, 0)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $16 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 16 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{16} - x^{2} + 16 x d x - \int_{0}^{16} 0 d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{16} - x^{2} + 16 x - (0) d x$

خطوة 4.2

اطرح $0$ من $- x^{2} + 16 x$ .

$\int_{0}^{16} - x^{2} + 16 x d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{16} - x^{2} d x + \int_{0}^{16} 16 x d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{16} x^{2} d x + \int_{0}^{16} 16 x d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{16}) + \int_{0}^{16} 16 x d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{16}) + \int_{0}^{16} 16 x d x$

خطوة 4.7

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{16}) + 16 \int_{0}^{16} x d x$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{16}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{16})$

خطوة 4.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{16}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{16})$

خطوة 4.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $16$ وفي $0$ .

$- ((\frac{16^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{16})$

خطوة 4.9.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $16$ وفي $0$ .

$- (\frac{16^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.1

ارفع $16$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{4096}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{4096}{3} - \frac{0}{3}) + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (\frac{4096}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{4096}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{4096}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{4096}{3} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (\frac{4096}{3} - 0) + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (\frac{4096}{3} + 0) + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.5

أضف $\frac{4096}{3}$ و $0$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 (\frac{16^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.6

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 (\frac{256}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $256$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $256$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4096}{3} + 16 (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{4096}{3} + 16 (\frac{128}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.7.2.4

اقسِم $128$ على $1$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 (128 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{4096}{3} + 16 (128 - \frac{0}{2})$

خطوة 4.9.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 (128 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 4.9.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 (128 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.9.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{4096}{3} + 16 (128 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.9.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{4096}{3} + 16 (128 - \frac{0}{1})$

خطوة 4.9.2.3.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 (128 - 0)$

خطوة 4.9.2.3.10

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 (128 + 0)$

خطوة 4.9.2.3.11

أضف $128$ و $0$ .

$- \frac{4096}{3} + 16 \cdot 128$

خطوة 4.9.2.3.12

اضرب $16$ في $128$ .

$- \frac{4096}{3} + 2048$

خطوة 4.9.2.3.13

لكتابة $2048$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4096}{3} + 2048 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.14

اجمع $2048$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4096}{3} + \frac{2048 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 4096 + 2048 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.16.1

اضرب $2048$ في $3$ .

$\frac{- 4096 + 6144}{3}$

خطوة 4.9.2.3.16.2

أضف $- 4096$ و $6144$ .

$\frac{2048}{3}$

خطوة 5