حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x^{2} - 5 x + 5$ , $y = x^{2} + 7 x - 15$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} = 7 x - 15$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $7 x$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} - 7 x = - 15$

خطوة 1.2.1.3

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 5 x + 5 - 7 x = - 15$

خطوة 1.2.1.4

اطرح $7 x$ من $- 5 x$ .

$x^{2} - 12 x + 5 = - 15$

خطوة 1.2.2

أضف $15$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} - 12 x + 5 + 15 = 0$

خطوة 1.2.3

أضف $5$ و $15$ .

$x^{2} - 12 x + 20 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل $x^{2} - 12 x + 20$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $20$ ومجموعهما $- 12$ .

$- 10, - 2 + y = x^{2} + 7 x - 15$

خطوة 1.2.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 10) (x - 2) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x^{2} + 7 x - 15$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 10 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 10$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.7.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 10) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 10, 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $10$ .

$y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $10$ عن $x$ في $y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 10^{2} + 7 (10) - 15$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $10^{2} + 7 (10) - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$y = 100 + 7 (10) - 15$

خطوة 1.3.2.2.1.2

اضرب $7$ في $10$ .

$y = 100 + 70 - 15$

خطوة 1.3.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.2.1

أضف $100$ و $70$ .

$y = 170 - 15$

خطوة 1.3.2.2.2.2

اطرح $15$ من $170$ .

$y = 155$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $2$ عن $x$ في $y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2^{2} + 7 (2) - 15$

خطوة 1.4.2.2

بسّط $2^{2} + 7 (2) - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = 4 + 7 (2) - 15$

خطوة 1.4.2.2.1.2

اضرب $7$ في $2$ .

$y = 4 + 14 - 15$

خطوة 1.4.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.2.1

أضف $4$ و $14$ .

$y = 18 - 15$

خطوة 1.4.2.2.2.2

اطرح $15$ من $18$ .

$y = 3$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(10, 155)$

$(2, 3)$

$(10, 155)$

$(2, 3)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 d x - \int_{2}^{10} 2 x^{2} - 5 x + 5 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $2$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2} - 5 x + 5) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $- 1$ في $5$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5$

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5 d x$

خطوة 3.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$- x^{2} + 7 x - 15 + 5 x - 5$

خطوة 3.3.2

أضف $7 x$ و $5 x$ .

$- x^{2} + 12 x - 15 - 5$

خطوة 3.3.3

اطرح $5$ من $- 15$ .

$- x^{2} + 12 x - 20$

$\int_{2}^{10} - x^{2} + 12 x - 20 d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{2}^{10} - x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{2}^{10} x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

خطوة 3.8

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 \int_{2}^{10} x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

خطوة 3.11

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

خطوة 3.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $10$ وفي $2$ .

$- ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

خطوة 3.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $10$ وفي $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 20 x]_{2}^{10}$

خطوة 3.12.3

احسِب قيمة $- 20 x$ في $10$ وفي $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.1

ارفع $10$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1000 - 8}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.4

اطرح $8$ من $1000$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.5

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{100}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.6

احذِف العامل المشترك لـ $100$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $100$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{50}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.6.2.4

اقسِم $50$ على $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{4}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.8

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.8.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2}{1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.8.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 1 \cdot 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.9

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.10

اطرح $2$ من $50$ .

$- \frac{992}{3} + 12 \cdot 48 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.11

اضرب $12$ في $48$ .

$- \frac{992}{3} + 576 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.12

لكتابة $576$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + 576 \cdot \frac{3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.13

اجمع $576$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + \frac{576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 992 + 576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.15.1

اضرب $576$ في $3$ .

$\frac{- 992 + 1728}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.15.2

أضف $- 992$ و $1728$ .

$\frac{736}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.16

اضرب $- 20$ في $10$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 20 \cdot 2$

خطوة 3.12.4.17

اضرب $20$ في $2$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 40$

خطوة 3.12.4.18

أضف $- 200$ و $40$ .

$\frac{736}{3} - 160$

خطوة 3.12.4.19

لكتابة $- 160$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} - 160 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.12.4.20

اجمع $- 160$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} + \frac{- 160 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.12.4.21

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{736 - 160 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.12.4.22

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.22.1

اضرب $- 160$ في $3$ .

$\frac{736 - 480}{3}$

خطوة 3.12.4.22.2

اطرح $480$ من $736$ .

$\frac{256}{3}$

خطوة 4