حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 6 x - x^{2}$ , $y = - 4 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$6 x - x^{2} = - 4 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $6 x - x^{2} = - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أضف $4 x$ إلى كلا المتعادلين.

$6 x - x^{2} + 4 x = 0$

خطوة 1.2.1.2

أضف $6 x$ و $4 x$ .

$- x^{2} + 10 x = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2} + 10 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 10 x = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $10 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 10 = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $- x$ من $- x (x) - x (- 10)$ .

$- x (x - 10) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0 + y = - 4 x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 10$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 10 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $10$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 10$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- x (x - 10) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 10$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = - 4 \cdot 0$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $0$ عن $x$ في $y = - 4 \cdot 0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 4 \cdot 0$

خطوة 1.3.2.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $10$ .

$y = - 4 \cdot 10$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $10$ عن $x$ في $y = - 4 \cdot 10$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 4 \cdot 10$

خطوة 1.4.2.2

اضرب $- 4$ في $10$ .

$y = - 40$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(10, - 40)$

$(0, 0)$

$(10, - 40)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $6 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 6 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{10} - x^{2} + 6 x d x - \int_{0}^{10} - 4 x d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{10} - x^{2} + 6 x - (- 4 x) d x$

خطوة 4.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{10} - x^{2} + 6 x + 4 x d x$

خطوة 4.3

أضف $6 x$ و $4 x$ .

$\int_{0}^{10} - x^{2} + 10 x d x$

خطوة 4.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{10} - x^{2} d x + \int_{0}^{10} 10 x d x$

خطوة 4.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{10} x^{2} d x + \int_{0}^{10} 10 x d x$

خطوة 4.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 x d x$

خطوة 4.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + \int_{0}^{10} 10 x d x$

خطوة 4.8

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 10 \int_{0}^{10} x d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 10 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{10})$

خطوة 4.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}) + 10 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10})$

خطوة 4.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $10$ وفي $0$ .

$- ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{10})$

خطوة 4.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $10$ وفي $0$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.1

ارفع $10$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{1000}{3} - \frac{0}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{1000}{3} - \frac{0}{1}) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (\frac{1000}{3} - 0) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (\frac{1000}{3} + 0) + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.5

أضف $\frac{1000}{3}$ و $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.6

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{100}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $100$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $100$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1000}{3} + 10 (\frac{50}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.7.2.4

اقسِم $50$ على $1$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.10.2.3.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{0}{2})$

خطوة 4.10.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 4.10.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.10.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.10.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - \frac{0}{1})$

خطوة 4.10.2.3.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 - 0)$

خطوة 4.10.2.3.10

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 (50 + 0)$

خطوة 4.10.2.3.11

أضف $50$ و $0$ .

$- \frac{1000}{3} + 10 \cdot 50$

خطوة 4.10.2.3.12

اضرب $10$ في $50$ .

$- \frac{1000}{3} + 500$

خطوة 4.10.2.3.13

لكتابة $500$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1000}{3} + 500 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.10.2.3.14

اجمع $500$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1000}{3} + \frac{500 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.10.2.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1000 + 500 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.10.2.3.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.3.16.1

اضرب $500$ في $3$ .

$\frac{- 1000 + 1500}{3}$

خطوة 4.10.2.3.16.2

أضف $- 1000$ و $1500$ .

$\frac{500}{3}$

خطوة 5