حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 8 x - x^{2}$ , $y = x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$8 x - x^{2} = x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $8 x - x^{2} = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$8 x - x^{2} - x = 0$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $x$ من $8 x$ .

$- x^{2} + 7 x = 0$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2} + 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 7 x = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $7 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 7 = 0$

خطوة 1.2.2.3

أخرِج العامل $- x$ من $- x (x) - x (- 7)$ .

$- x (x - 7) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 7 = 0 + y = x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- x (x - 7) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 7$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.3.2

احذِف الأقواس.

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $7$ .

$y = 7$

خطوة 1.4.2

احذِف الأقواس.

$y = 7$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(7, 7)$

$(0, 0)$

$(7, 7)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $8 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 8 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{7} - x^{2} + 8 x d x - \int_{0}^{7} x d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{7} - x^{2} + 8 x - (x) d x$

خطوة 4.2

اطرح $x$ من $8 x$ .

$\int_{0}^{7} - x^{2} + 7 x d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{7} - x^{2} d x + \int_{0}^{7} 7 x d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 7 x d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 7 x d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 7 x d x$

خطوة 4.7

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}) + 7 \int_{0}^{7} x d x$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7})$

خطوة 4.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7})$

خطوة 4.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $7$ وفي $0$ .

$- ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7})$

خطوة 4.9.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $7$ وفي $0$ .

$- (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.1

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (\frac{343}{3} - 0) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (\frac{343}{3} + 0) + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.5

أضف $\frac{343}{3}$ و $0$ .

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.6

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.7

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2})$

خطوة 4.9.2.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.8.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 4.9.2.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.9.2.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.9.2.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1})$

خطوة 4.9.2.3.8.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} - 0)$

خطوة 4.9.2.3.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2} + 0)$

خطوة 4.9.2.3.10

أضف $\frac{49}{2}$ و $0$ .

$- \frac{343}{3} + 7 (\frac{49}{2})$

خطوة 4.9.2.3.11

اجمع $7$ و $\frac{49}{2}$ .

$- \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 49}{2}$

خطوة 4.9.2.3.12

اضرب $7$ في $49$ .

$- \frac{343}{3} + \frac{343}{2}$

خطوة 4.9.2.3.13

لكتابة $- \frac{343}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{343}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{343}{2}$

خطوة 4.9.2.3.14

لكتابة $\frac{343}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{343}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{343}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.15

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.15.1

اضرب $\frac{343}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{343}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.15.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{6} + \frac{343}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.15.3

اضرب $\frac{343}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{6} + \frac{343 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

خطوة 4.9.2.3.15.4

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{343 \cdot 2}{6} + \frac{343 \cdot 3}{6}$

خطوة 4.9.2.3.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 343 \cdot 2 + 343 \cdot 3}{6}$

خطوة 4.9.2.3.17

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.17.1

اضرب $- 343$ في $2$ .

$\frac{- 686 + 343 \cdot 3}{6}$

خطوة 4.9.2.3.17.2

اضرب $343$ في $3$ .

$\frac{- 686 + 1029}{6}$

خطوة 4.9.2.3.17.3

أضف $- 686$ و $1029$ .

$\frac{343}{6}$

خطوة 5