حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} + x$ , $x = 6$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} + x = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

خطوة 1.2.1.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

خطوة 1.2.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

خطوة 1.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0 + y = 0$

خطوة 1.2.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} x^{2} + x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 1$ و $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (x^{2} + x) d x$

خطوة 3.2

اطرح $x^{2} + x$ من $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (x^{2} + x) d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} - x d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - \int_{- 1}^{0} x d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $0$ وفي $- 1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $0$ وفي $- 1$ .

$- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- (0 - \frac{- 1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (0 - - \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (0 + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.6

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$- (0 + \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.7

أضف $0$ و $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.3.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

خطوة 3.10.2.3.11

اطرح $\frac{1}{2}$ من $0$ .

$- \frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

خطوة 3.10.2.3.12

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

خطوة 3.10.2.3.13

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.10.2.3.14

لكتابة $- \frac{1}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.10.2.3.15

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.16

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.3.16.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.16.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.3.16.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.10.2.3.16.4

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

خطوة 3.10.2.3.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

خطوة 3.10.2.3.18

أضف $- 2$ و $3$ .

$\frac{1}{6}$

خطوة 4

$A r e a = \int_{0}^{6} x^{2} + x d x - \int_{0}^{6} 0 d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x - (0) d x$

خطوة 5.2

اطرح $0$ من $x^{2} + x$ .

$\int_{0}^{6} x^{2} + x d x$

خطوة 5.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x$

خطوة 5.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x$

خطوة 5.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

خطوة 5.6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ و $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

خطوة 5.6.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ في $6$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.3.2.4

اقسِم $72$ على $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.4

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $36$ .

$72 + \frac{36}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $36$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $36$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$72 + \frac{18}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.6.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$72 + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.7

أضف $72$ و $18$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.9

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

خطوة 5.6.2.2.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

خطوة 5.6.2.2.11

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$90 - (0 + 0)$

خطوة 5.6.2.2.12

أضف $0$ و $0$ .

$90 - 0$

خطوة 5.6.2.2.13

اضرب $- 1$ في $0$ .

$90 + 0$

خطوة 5.6.2.2.14

أضف $90$ و $0$ .

$90$

خطوة 6

اجمع المساحات $\frac{1}{6} + 90$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لكتابة $90$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + 90 \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 6.2

اجمع $90$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + \frac{90 \cdot 6}{6}$

خطوة 6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 + 90 \cdot 6}{6}$

خطوة 6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $90$ في $6$ .

$\frac{1 + 540}{6}$

خطوة 6.4.2

أضف $1$ و $540$ .

$\frac{541}{6}$

خطوة 7