حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\cos (11 x) = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (11 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$11 x = \arccos (0)$

خطوة 1.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$11 x = \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $11 x = \frac{π}{2}$ على $11$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $11 x = \frac{π}{2}$ على $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

خطوة 1.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

خطوة 1.2.3.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

خطوة 1.2.3.3.2.2

اضرب $2$ في $11$ .

$x = \frac{π}{22}$

خطوة 1.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.5.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 1.2.5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 1.2.5.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 1.2.5.1.5

اطرح $π$ من $4 π$ .

$11 x = \frac{3 π}{2}$

خطوة 1.2.5.2

اقسِم كل حد في $11 x = \frac{3 π}{2}$ على $11$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

اقسِم كل حد في $11 x = \frac{3 π}{2}$ على $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

خطوة 1.2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

خطوة 1.2.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

خطوة 1.2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

خطوة 1.2.5.2.3.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

خطوة 1.2.5.2.3.2.2

اضرب $2$ في $11$ .

$x = \frac{3 π}{22}$

خطوة 1.2.6

أوجِد فترة $\cos (11 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $11$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

خطوة 1.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $11$ تساوي $11$ .

$\frac{2 π}{11}$

خطوة 1.2.7

فترة دالة $\cos (11 x)$ هي $\frac{2 π}{11}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{2 π}{11}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.8

وحّد الإجابات.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

اسرِد جميع الحلول.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $\frac{π}{22}$ و $\frac{π}{11}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

خطوة 3.2

اطرح $\cos (11 x)$ من $0$ .

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

خطوة 3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

خطوة 3.4

لنفترض أن $u = 11 x$ . إذن $d u = 11 d x$ ، لذا $\frac{1}{11} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

افترض أن $u = 11 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أوجِد مشتقة $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

خطوة 3.4.1.2

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $11 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $11$ في $1$ .

$11$

خطوة 3.4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 11 x$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

خطوة 3.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $11$ من $22$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

خطوة 3.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

خطوة 3.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

خطوة 3.4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 11 x$ .

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

خطوة 3.4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

خطوة 3.4.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = π$

خطوة 3.4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

خطوة 3.5

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{11}$ .

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

خطوة 3.6

بما أن $\frac{1}{11}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{11}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

خطوة 3.7

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

خطوة 3.8

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $π$ وفي $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

خطوة 3.9.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

خطوة 3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

خطوة 3.10.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

خطوة 3.10.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

خطوة 3.10.3

اضرب $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{11})$

خطوة 3.10.3.2

اضرب $\frac{1}{11}$ في $1$ .

$\frac{1}{11}$

خطوة 4