حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 4 x + 3$ , $y = x - 1$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 4 x + 3 = x - 1$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 4 x + 3 = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 4 x + 3 - x = - 1$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $x$ من $- 4 x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 = - 1$

خطوة 1.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} - 5 x + 3 + 1 = 0$

خطوة 1.2.3

أضف $3$ و $1$ .

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل $x^{2} - 5 x + 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $4$ ومجموعهما $- 5$ .

$- 4, - 1 + y = x - 1$

خطوة 1.2.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 4) (x - 1) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0 + y = x - 1$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.7.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 4) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 4, 1$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = (4) - 1$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $4$ عن $x$ في $y = (4) - 1$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 4 - 1$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (4) - 1$

خطوة 1.3.2.3

اطرح $1$ من $4$ .

$y = 3$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = (1) - 1$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $1$ عن $x$ في $y = (1) - 1$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 1 - 1$

خطوة 1.4.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (1) - 1$

خطوة 1.4.2.3

اطرح $1$ من $1$ .

$y = 0$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(4, 3)$

$(1, 0)$

$(4, 3)$

$(1, 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{1}^{4} x - 1 d x - \int_{1}^{4} x^{2} - 4 x + 3 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $1$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{1}^{4} x - 1 - (x^{2} - 4 x + 3) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 1 - x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 3$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 1 \cdot 3$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x - 1 - x^{2} + 4 x - 3$

$\int_{1}^{4} x - 1 - x^{2} + 4 x - 3 d x$

خطوة 3.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أضف $x$ و $4 x$ .

$5 x - 1 - x^{2} - 3$

خطوة 3.3.2

اطرح $3$ من $- 1$ .

$5 x - x^{2} - 4$

$\int_{1}^{4} 5 x - x^{2} - 4 d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{4} 5 x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

خطوة 3.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - 4 d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 4 d x$

خطوة 3.11

طبّق قاعدة الثابت.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

خطوة 3.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $1$ .

$5 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + - 4 x]_{1}^{4}$

خطوة 3.12.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 4 x]_{1}^{4}$

خطوة 3.12.3

احسِب قيمة $- 4 x$ في $4$ وفي $1$ .

$5 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$5 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$5 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$5 (8 - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.4

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$5 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.5

اجمع $8$ و $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.7.1

اضرب $8$ في $2$ .

$5 \frac{16 - 1}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.7.2

اطرح $1$ من $16$ .

$5 (\frac{15}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.8

اجمع $5$ و $\frac{15}{2}$ .

$\frac{5 \cdot 15}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.9

اضرب $5$ في $15$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.10

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{75}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{75}{2} - \frac{64 - 1}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.13

اطرح $1$ من $64$ .

$\frac{75}{2} - \frac{63}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.14

احذِف العامل المشترك لـ $63$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.14.1

أخرِج العامل $3$ من $63$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.14.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{75}{2} - \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{75}{2} - \frac{21}{1} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.14.2.4

اقسِم $21$ على $1$ .

$\frac{75}{2} - 1 \cdot 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.15

اضرب $- 1$ في $21$ .

$\frac{75}{2} - 21 + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.16

لكتابة $- 21$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} - 21 \cdot \frac{2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.17

اجمع $- 21$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{2} + \frac{- 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{75 - 21 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.19.1

اضرب $- 21$ في $2$ .

$\frac{75 - 42}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.19.2

اطرح $42$ من $75$ .

$\frac{33}{2} + (- 4 \cdot 4) + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.20

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4 \cdot 1$

خطوة 3.12.4.21

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{33}{2} - 16 + 4$

خطوة 3.12.4.22

أضف $- 16$ و $4$ .

$\frac{33}{2} - 12$

خطوة 3.12.4.23

لكتابة $- 12$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} - 12 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.12.4.24

اجمع $- 12$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{33}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.12.4.25

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{33 - 12 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.12.4.26

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.4.26.1

اضرب $- 12$ في $2$ .

$\frac{33 - 24}{2}$

خطوة 3.12.4.26.2

اطرح $24$ من $33$ .

$\frac{9}{2}$

خطوة 4