حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 3 x$ , $y = 3 x + 7$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 3 x = 3 x + 7$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 3 x = 3 x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $3 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 3 x - 3 x = 7$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $3 x$ من $- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x = 7$

خطوة 1.2.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل $x^{2} - 6 x - 7$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 7$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 7, 1 + y = 3 x + 7$

خطوة 1.2.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

خطوة 1.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0 + y = 3 x + 7$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 7) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 7, - 1$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $7$ .

$y = 3 (7) + 7$

خطوة 1.3.2

بسّط $3 (7) + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $3$ في $7$ .

$y = 21 + 7$

خطوة 1.3.2.2

أضف $21$ و $7$ .

$y = 28$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$y = 3 (- 1) + 7$

خطوة 1.4.2

بسّط $3 (- 1) + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y = - 3 + 7$

خطوة 1.4.2.2

أضف $- 3$ و $7$ .

$y = 4$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(7, 28)$

$(- 1, 4)$

$(7, 28)$

$(- 1, 4)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 1}^{7} 3 x + 7 d x - \int_{- 1}^{7} x^{2} - 3 x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 1$ و $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 1}^{7} 3 x + 7 - (x^{2} - 3 x) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x + 7 - x^{2} - (- 3 x)$

خطوة 3.2.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$3 x + 7 - x^{2} + 3 x$

$\int_{- 1}^{7} 3 x + 7 - x^{2} + 3 x d x$

خطوة 3.3

أضف $3 x$ و $3 x$ .

$\int_{- 1}^{7} 6 x + 7 - x^{2} d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 1}^{7} 6 x d x + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

خطوة 3.5

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{- 1}^{7} x d x + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 7 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

خطوة 3.8

طبّق قاعدة الثابت.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} + \int_{- 1}^{7} - x^{2} d x$

خطوة 3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} - \int_{- 1}^{7} x^{2} d x$

خطوة 3.10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{7})$

خطوة 3.11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 7 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7})$

خطوة 3.11.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $7$ وفي $- 1$ .

$6 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7})$

خطوة 3.11.2.2

احسِب قيمة $7 x$ في $7$ وفي $- 1$ .

$6 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7})$

خطوة 3.11.2.3

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $7$ وفي $- 1$ .

$6 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$6 (\frac{49}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$6 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 \frac{49 - 1}{2} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.4

اطرح $1$ من $49$ .

$6 (\frac{48}{2}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.5

احذِف العامل المشترك لـ $48$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.5.1

أخرِج العامل $2$ من $48$ .

$6 \frac{2 \cdot 24}{2} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 \frac{2 \cdot 24}{2 (1)} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1} + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{24}{1}) + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.5.2.4

اقسِم $24$ على $1$ .

$6 \cdot 24 + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.6

اضرب $6$ في $24$ .

$144 + 7 \cdot 7 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.7

اضرب $7$ في $7$ .

$144 + 49 - 7 \cdot - 1 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.8

اضرب $- 7$ في $- 1$ .

$144 + 49 + 7 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.9

أضف $49$ و $7$ .

$144 + 56 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.10

أضف $144$ و $56$ .

$200 - ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.11

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$200 - (\frac{343}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.12

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$200 - (\frac{343}{3} - \frac{- 1}{3})$

خطوة 3.11.2.4.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$200 - (\frac{343}{3} - - \frac{1}{3})$

خطوة 3.11.2.4.14

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$200 - (\frac{343}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

خطوة 3.11.2.4.15

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$200 - (\frac{343}{3} + \frac{1}{3})$

خطوة 3.11.2.4.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$200 - \frac{343 + 1}{3}$

خطوة 3.11.2.4.17

أضف $343$ و $1$ .

$200 - \frac{344}{3}$

خطوة 3.11.2.4.18

لكتابة $200$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$200 \cdot \frac{3}{3} - \frac{344}{3}$

خطوة 3.11.2.4.19

اجمع $200$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{200 \cdot 3}{3} - \frac{344}{3}$

خطوة 3.11.2.4.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{200 \cdot 3 - 344}{3}$

خطوة 3.11.2.4.21

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.21.1

اضرب $200$ في $3$ .

$\frac{600 - 344}{3}$

خطوة 3.11.2.4.21.2

اطرح $344$ من $600$ .

$\frac{256}{3}$

خطوة 4