حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2}$ , $y = 4 x - x^{2}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} = 4 x - x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 4 x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $x$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$4 x - x^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 x - x^{2} - x^{2} = 0$

خطوة 1.2.2.2

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$4 x - 2 x^{2} = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$4 u - 2 u^{2} = 0$

خطوة 1.2.3.2

أخرِج العامل $2 u$ من $4 u - 2 u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

أخرِج العامل $2 u$ من $4 u$ .

$2 u (2) - 2 u^{2} = 0$

خطوة 1.2.3.2.2

أخرِج العامل $2 u$ من $- 2 u^{2}$ .

$2 u (2) + 2 u (- u) = 0$

خطوة 1.2.3.2.3

أخرِج العامل $2 u$ من $2 u (2) + 2 u (- u)$ .

$2 u (2 - u) = 0$

خطوة 1.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$2 x (2 - x) = 0$

خطوة 1.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0 + y = 4 x - x^{2}$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 - x = 0$

خطوة 1.2.6.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 2$

خطوة 1.2.6.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.2.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.2.6.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 1.2.6.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x = 2$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 x (2 - x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 4 (0) - {(0)}^{2}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $0$ عن $x$ في $y = 4 (0) - {(0)}^{2}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 4 (0) - 0^{2}$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $4 (0) - 0^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$y = 0 - 0^{2}$

خطوة 1.3.2.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 - 0$

خطوة 1.3.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$y = 0 + 0$

خطوة 1.3.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $2$ .

$y = 4 (2) - {(2)}^{2}$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $2$ عن $x$ في $y = 4 (2) - {(2)}^{2}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 4 (2) - 2^{2}$

خطوة 1.4.2.2

بسّط $4 (2) - 2^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.2.1.1

اضرب $4$ في $2$ .

$y = 8 - 2^{2}$

خطوة 1.4.2.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = 8 - 1 \cdot 4$

خطوة 1.4.2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = 8 - 4$

خطوة 1.4.2.2.2

اطرح $4$ من $8$ .

$y = 4$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(2, 4)$

$(0, 0)$

$(2, 4)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $4 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 4 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{2} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{2} - x^{2} + 4 x - (x^{2}) d x$

خطوة 4.2

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} + 4 x d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{2} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 x d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 x d x$

خطوة 4.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 \int_{0}^{2} x d x$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

خطوة 4.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

خطوة 4.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $0$ .

$- 2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

خطوة 4.9.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $0$ .

$- 2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 2 (\frac{8}{3} - 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3} + 0) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.5

أضف $\frac{8}{3}$ و $0$ .

$- 2 (\frac{8}{3}) + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.6

اجمع $- 2$ و $\frac{8}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.7

اضرب $- 2$ في $8$ .

$\frac{- 16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.9

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.10.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{16}{3} + 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.10.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.11

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{2})$

خطوة 4.9.2.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.12.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 4.9.2.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.9.2.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.9.2.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - \frac{0}{1})$

خطوة 4.9.2.3.12.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 - 0)$

خطوة 4.9.2.3.13

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 (2 + 0)$

خطوة 4.9.2.3.14

أضف $2$ و $0$ .

$- \frac{16}{3} + 4 \cdot 2$

خطوة 4.9.2.3.15

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{16}{3} + 8$

خطوة 4.9.2.3.16

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.17

اجمع $8$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3}$

خطوة 4.9.2.3.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.19.1

اضرب $8$ في $3$ .

$\frac{- 16 + 24}{3}$

خطوة 4.9.2.3.19.2

أضف $- 16$ و $24$ .

$\frac{8}{3}$

خطوة 5