حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2}$ , $y = 20 - x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} = 20 - x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 20 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} + x = 20$

خطوة 1.2.2

اطرح $20$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + x - 20 = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل $x^{2} + x - 20$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 20$ ومجموعهما $1$ .

$- 4, 5 + y = 20 - x$

خطوة 1.2.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

خطوة 1.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0 + y = 20 - x$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 4) (x + 5) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 5$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = 20 - (4)$

خطوة 1.3.2

بسّط $20 - (4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$y = 20 - 4$

خطوة 1.3.2.2

اطرح $4$ من $20$ .

$y = 16$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 5$ .

$y = 20 - (- 5)$

خطوة 1.4.2

بسّط $20 - (- 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$y = 20 + 5$

خطوة 1.4.2.2

أضف $20$ و $5$ .

$y = 25$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(4, 16)$

$(- 5, 25)$

$(4, 16)$

$(- 5, 25)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $20$ و $- x$ .

$y = - x + 20$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 5}^{4} - x + 20 d x - \int_{- 5}^{4} x^{2} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 5$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 5}^{4} - x + 20 - (x^{2}) d x$

خطوة 4.2

اضرب $- 1$ في $x^{2}$ .

$\int_{- 5}^{4} - x + 20 - x^{2} d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 5}^{4} - x d x + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 5}^{4} x d x + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{4}) + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + \int_{- 5}^{4} 20 d x + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 4.7

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} + \int_{- 5}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 4.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - \int_{- 5}^{4} x^{2} d x$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{4})$

خطوة 4.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{4}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

خطوة 4.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $- 5$ .

$- ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 x]_{- 5}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

خطوة 4.10.2.2

احسِب قيمة $20 x$ في $4$ وفي $- 5$ .

$- (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{4})$

خطوة 4.10.2.3

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $- 5$ .

$- (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- (\frac{16}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$- (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{8}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$- (8 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.3

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$- (8 - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.4

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.5

اجمع $8$ و $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{8 \cdot 2 - 25}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.7.1

اضرب $8$ في $2$ .

$- \frac{16 - 25}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.7.2

اطرح $25$ من $16$ .

$- \frac{- 9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{9}{2}) + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.10

اضرب $\frac{9}{2}$ في $1$ .

$\frac{9}{2} + 20 \cdot 4 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.11

اضرب $20$ في $4$ .

$\frac{9}{2} + 80 - 20 \cdot - 5 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.12

اضرب $- 20$ في $- 5$ .

$\frac{9}{2} + 80 + 100 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.13

أضف $80$ و $100$ .

$\frac{9}{2} + 180 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.14

لكتابة $180$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + 180 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.15

اجمع $180$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{180 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 + 180 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.17

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.17.1

اضرب $180$ في $2$ .

$\frac{9 + 360}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.17.2

أضف $9$ و $360$ .

$\frac{369}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.18

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3})$

خطوة 4.10.2.4.19

ارفع $- 5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 125}{3})$

خطوة 4.10.2.4.20

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{125}{3})$

خطوة 4.10.2.4.21

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{125}{3}))$

خطوة 4.10.2.4.22

اضرب $\frac{125}{3}$ في $1$ .

$\frac{369}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{125}{3})$

خطوة 4.10.2.4.23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{369}{2} - \frac{64 + 125}{3}$

خطوة 4.10.2.4.24

أضف $64$ و $125$ .

$\frac{369}{2} - \frac{189}{3}$

خطوة 4.10.2.4.25

احذِف العامل المشترك لـ $189$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.25.1

أخرِج العامل $3$ من $189$ .

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3}$

خطوة 4.10.2.4.25.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.25.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3 (1)}$

خطوة 4.10.2.4.25.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{369}{2} - \frac{3 \cdot 63}{3 \cdot 1}$

خطوة 4.10.2.4.25.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{369}{2} - \frac{63}{1}$

خطوة 4.10.2.4.25.2.4

اقسِم $63$ على $1$ .

$\frac{369}{2} - 1 \cdot 63$

خطوة 4.10.2.4.26

اضرب $- 1$ في $63$ .

$\frac{369}{2} - 63$

خطوة 4.10.2.4.27

لكتابة $- 63$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{369}{2} - 63 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 4.10.2.4.28

اجمع $- 63$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{369}{2} + \frac{- 63 \cdot 2}{2}$

خطوة 4.10.2.4.29

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{369 - 63 \cdot 2}{2}$

خطوة 4.10.2.4.30

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.2.4.30.1

اضرب $- 63$ في $2$ .

$\frac{369 - 126}{2}$

خطوة 4.10.2.4.30.2

اطرح $126$ من $369$ .

$\frac{243}{2}$

خطوة 5