حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - x^{2} + 4$ , $y = 3 x$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$- x^{2} + 4 = 3 x$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x^{2} + 4 = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $3 x$ من كلا المتعادلين.

$- x^{2} + 4 - 3 x = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2} + 4 - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

انقُل $4$ .

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

خطوة 1.2.2.1.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

خطوة 1.2.2.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

خطوة 1.2.2.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

حلّل $x^{2} + 3 x - 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 4$ ومجموعهما $3$ .

$- 1, 4 + y = 3 x$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0 + y = 3 x$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 1) (x + 4) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 4$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = 3 (1)$

خطوة 1.3.2

اضرب $3$ في $1$ .

$y = 3$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 4$ .

$y = 3 (- 4)$

خطوة 1.4.2

اضرب $3$ في $- 4$ .

$y = - 12$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(1, 3)$

$(- 4, - 12)$

$(1, 3)$

$(- 4, - 12)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 d x - \int_{- 4}^{1} 3 x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 4$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 - (3 x) d x$

خطوة 3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} + 4 - 3 x d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 4}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 4}^{1} x^{2} d x + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + \int_{- 4}^{1} 4 d x + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

خطوة 3.7

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} + \int_{- 4}^{1} - 3 x d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 \int_{- 4}^{1} x d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{1})$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{1}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $- 4$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 4}^{1} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة $4 x$ في $1$ وفي $- 4$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{1})$

خطوة 3.10.2.3

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $- 4$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.2

ارفع $- 4$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{- 64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- (\frac{1}{3} - - \frac{64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{64}{3})) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.5

اضرب $\frac{64}{3}$ في $1$ .

$- (\frac{1}{3} + \frac{64}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1 + 64}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.7

أضف $1$ و $64$ .

$- \frac{65}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.8

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{65}{3} + 4 - 4 \cdot - 4 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.9

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$- \frac{65}{3} + 4 + 16 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.10

أضف $4$ و $16$ .

$- \frac{65}{3} + 20 - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.11

لكتابة $20$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{65}{3} + 20 \cdot \frac{3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.12

اجمع $20$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{65}{3} + \frac{20 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 65 + 20 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.14.1

اضرب $20$ في $3$ .

$\frac{- 65 + 60}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.14.2

أضف $- 65$ و $60$ .

$\frac{- 5}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{3} - 3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.16

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

خطوة 3.10.2.4.17

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{16}{2})$

خطوة 3.10.2.4.18

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.18.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2})$

خطوة 3.10.2.4.18.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.18.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

خطوة 3.10.2.4.18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.10.2.4.18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - \frac{8}{1})$

خطوة 3.10.2.4.18.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 8)$

خطوة 3.10.2.4.19

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 8)$

خطوة 3.10.2.4.20

لكتابة $- 8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 3.10.2.4.21

اجمع $- 8$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{1}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2})$

خطوة 3.10.2.4.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{5}{3} - 3 \frac{1 - 8 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.10.2.4.23

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.23.1

اضرب $- 8$ في $2$ .

$- \frac{5}{3} - 3 \frac{1 - 16}{2}$

خطوة 3.10.2.4.23.2

اطرح $16$ من $1$ .

$- \frac{5}{3} - 3 (\frac{- 15}{2})$

خطوة 3.10.2.4.24

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5}{3} - 3 (- \frac{15}{2})$

خطوة 3.10.2.4.25

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$- \frac{5}{3} + 3 (\frac{15}{2})$

خطوة 3.10.2.4.26

اجمع $3$ و $\frac{15}{2}$ .

$- \frac{5}{3} + \frac{3 \cdot 15}{2}$

خطوة 3.10.2.4.27

اضرب $3$ في $15$ .

$- \frac{5}{3} + \frac{45}{2}$

خطوة 3.10.2.4.28

لكتابة $- \frac{5}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2}$

خطوة 3.10.2.4.29

لكتابة $\frac{45}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.4.30

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.30.1

اضرب $\frac{5}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.4.30.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45}{2} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.10.2.4.30.3

اضرب $\frac{45}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.10.2.4.30.4

اضرب $2$ في $3$ .

$- \frac{5 \cdot 2}{6} + \frac{45 \cdot 3}{6}$

خطوة 3.10.2.4.31

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 5 \cdot 2 + 45 \cdot 3}{6}$

خطوة 3.10.2.4.32

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.32.1

اضرب $- 5$ في $2$ .

$\frac{- 10 + 45 \cdot 3}{6}$

خطوة 3.10.2.4.32.2

اضرب $45$ في $3$ .

$\frac{- 10 + 135}{6}$

خطوة 3.10.2.4.32.3

أضف $- 10$ و $135$ .

$\frac{125}{6}$

خطوة 4