حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - x^{2} + 4 x$ , $y = 0$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$- x^{2} + 4 x = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x^{2} + 4 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2} + 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 4 x = 0$

خطوة 1.2.1.2

أخرِج العامل $- x$ من $4 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 4 = 0$

خطوة 1.2.1.3

أخرِج العامل $- x$ من $- x (x) - x (- 4)$ .

$- x (x - 4) = 0$

خطوة 1.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0 + y = 0$

خطوة 1.2.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- x (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 4$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x d x - \int_{0}^{4} 0 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

خطوة 3.2

اطرح $0$ من $- x^{2} + 4 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{2} + 4 x d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{4} - x^{2} d x + \int_{0}^{4} 4 x d x$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} 4 x d x$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 4 x d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 4 x d x$

خطوة 3.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 \int_{0}^{4} x d x$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

خطوة 3.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

خطوة 3.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $0$ .

$- ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

خطوة 3.9.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $0$ .

$- (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- (\frac{64}{3} - 0) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- (\frac{64}{3} + 0) + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.5

أضف $\frac{64}{3}$ و $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.6

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{64}{3} + 4 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.7.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 3.9.2.3.8

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{2})$

خطوة 3.9.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 3.9.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.9.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 3.9.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - \frac{0}{1})$

خطوة 3.9.2.3.9.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 - 0)$

خطوة 3.9.2.3.10

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 (8 + 0)$

خطوة 3.9.2.3.11

أضف $8$ و $0$ .

$- \frac{64}{3} + 4 \cdot 8$

خطوة 3.9.2.3.12

اضرب $4$ في $8$ .

$- \frac{64}{3} + 32$

خطوة 3.9.2.3.13

لكتابة $32$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + 32 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 3.9.2.3.14

اجمع $32$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.9.2.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 64 + 32 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.9.2.3.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.16.1

اضرب $32$ في $3$ .

$\frac{- 64 + 96}{3}$

خطوة 3.9.2.3.16.2

أضف $- 64$ و $96$ .

$\frac{32}{3}$

خطوة 4