حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2} - 2 x$ , $y = x + 4$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$x^{2} - 2 x = x + 4$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 2 x = x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x - x = 4$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $x$ من $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x = 4$

خطوة 1.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

خطوة 1.2.3

حلّل $x^{2} - 3 x - 4$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 4$ ومجموعهما $- 3$ .

$- 4, 1 + y = x + 4$

خطوة 1.2.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

خطوة 1.2.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 4$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 1.2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 4) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 1$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $4$ .

$y = (4) + 4$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $4$ عن $x$ في $y = (4) + 4$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 4 + 4$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (4) + 4$

خطوة 1.3.2.3

أضف $4$ و $4$ .

$y = 8$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$y = (- 1) + 4$

خطوة 1.4.2

عوّض بـ $- 1$ عن $x$ في $y = (- 1) + 4$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

احذِف الأقواس.

$y = - 1 + 4$

خطوة 1.4.2.2

احذِف الأقواس.

$y = (- 1) + 4$

خطوة 1.4.2.3

أضف $- 1$ و $4$ .

$y = 3$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

$(4, 8)$

$(- 1, 3)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 1}^{4} x + 4 d x - \int_{- 1}^{4} x^{2} - 2 x d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 1$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - (x^{2} - 2 x) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 4 - x^{2} - (- 2 x)$

خطوة 3.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$x + 4 - x^{2} + 2 x$

$\int_{- 1}^{4} x + 4 - x^{2} + 2 x d x$

خطوة 3.3

أضف $x$ و $2 x$ .

$\int_{- 1}^{4} 3 x + 4 - x^{2} d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 1}^{4} 3 x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{- 1}^{4} x d x + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 4 d x + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.8

طبّق قاعدة الثابت.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} + \int_{- 1}^{4} - x^{2} d x$

خطوة 3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - \int_{- 1}^{4} x^{2} d x$

خطوة 3.10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4})$

خطوة 3.11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{4}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

خطوة 3.11.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $- 1$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 x]_{- 1}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

خطوة 3.11.2.2

احسِب قيمة $4 x$ في $4$ وفي $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4})$

خطوة 3.11.2.3

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $- 1$ .

$3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$3 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.4

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.5

اجمع $8$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.7.1

اضرب $8$ في $2$ .

$3 \frac{16 - 1}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.7.2

اطرح $1$ من $16$ .

$3 (\frac{15}{2}) + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.8

اجمع $3$ و $\frac{15}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 15}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.9

اضرب $3$ في $15$ .

$\frac{45}{2} + 4 \cdot 4 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.10

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{45}{2} + 16 - 4 \cdot - 1 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.11

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\frac{45}{2} + 16 + 4 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.12

أضف $16$ و $4$ .

$\frac{45}{2} + 20 - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.13

لكتابة $20$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.14

اجمع $20$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{45}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{45 + 20 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.16.1

اضرب $20$ في $2$ .

$\frac{45 + 40}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.16.2

أضف $45$ و $40$ .

$\frac{85}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.17

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

خطوة 3.11.2.4.18

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3})$

خطوة 3.11.2.4.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} - - \frac{1}{3})$

خطوة 3.11.2.4.20

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

خطوة 3.11.2.4.21

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{85}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{1}{3})$

خطوة 3.11.2.4.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{85}{2} - \frac{64 + 1}{3}$

خطوة 3.11.2.4.23

أضف $64$ و $1$ .

$\frac{85}{2} - \frac{65}{3}$

خطوة 3.11.2.4.24

لكتابة $\frac{85}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3}$

خطوة 3.11.2.4.25

لكتابة $- \frac{65}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.11.2.4.26

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.26.1

اضرب $\frac{85}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.11.2.4.26.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65}{3} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.11.2.4.26.3

اضرب $\frac{65}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

خطوة 3.11.2.4.26.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{85 \cdot 3}{6} - \frac{65 \cdot 2}{6}$

خطوة 3.11.2.4.27

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{85 \cdot 3 - 65 \cdot 2}{6}$

خطوة 3.11.2.4.28

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.4.28.1

اضرب $85$ في $3$ .

$\frac{255 - 65 \cdot 2}{6}$

خطوة 3.11.2.4.28.2

اضرب $- 65$ في $2$ .

$\frac{255 - 130}{6}$

خطوة 3.11.2.4.28.3

اطرح $130$ من $255$ .

$\frac{125}{6}$

خطوة 4