حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{3 - 7 x}$ , $x = 0$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\sqrt{3 - 7 x} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sqrt{3 - 7 x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{3 - 7 x}}^{2} = 0^{2}$

خطوة 1.2.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 - 7 x}$ في صورة ${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

بسّط ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(3 - 7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(3 - 7 x)}^{1} = 0^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

بسّط.

$3 - 7 x = 0^{2}$

خطوة 1.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 - 7 x = 0$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 7 x = - 3$

خطوة 1.2.3.2

اقسِم كل حد في $- 7 x = - 3$ على $- 7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 7 x = - 3$ على $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

خطوة 1.2.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 3}{- 7}$

خطوة 1.2.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 7}$

خطوة 1.2.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{3}{7}$

خطوة 1.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{3}{7}$ .

$y = 0$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(\frac{3}{7}, 0)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x - \int_{0}^{\frac{3}{7}} 0 d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $\frac{3}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} - (0) d x$

خطوة 3.2

اطرح $0$ من $\sqrt{3 - 7 x}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{7}} \sqrt{3 - 7 x} d x$

خطوة 3.3

لنفترض أن $u = 3 - 7 x$ . إذن $d u = - 7 d x$ ، لذا $- \frac{1}{7} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

افترض أن $u = 3 - 7 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أوجِد مشتقة $3 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 7 x]$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 7 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

خطوة 3.3.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

خطوة 3.3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

خطوة 3.3.1.3.3

اضرب $- 7$ في $1$ .

$0 - 7$

خطوة 3.3.1.4

اطرح $7$ من $0$ .

$- 7$

خطوة 3.3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 - 7 x$ .

$u_{lower} = 3 - 7 \cdot 0$

خطوة 3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اضرب $- 7$ في $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

خطوة 3.3.3.2

أضف $3$ و $0$ .

$u_{lower} = 3$

خطوة 3.3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 - 7 x$ .

$u_{upper} = 3 - 7 (\frac{3}{7})$

خطوة 3.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1.1.1

أخرِج العامل $7$ من $- 7$ .

$u_{upper} = 3 + 7 (- 1) \frac{3}{7}$

خطوة 3.3.5.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 3 + 7 \cdot - 1 \frac{3}{7}$

خطوة 3.3.5.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 3 - 1 \cdot 3$

خطوة 3.3.5.1.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

خطوة 3.3.5.2

اطرح $3$ من $3$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 7} d u$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{3}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{7}) d u$

خطوة 3.4.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{7}$ .

$\int_{3}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{3}^{0} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

خطوة 3.6

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{7} \int_{3}^{0} \sqrt{u} d u)$

خطوة 3.7

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \int_{3}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{3}^{0}$

خطوة 3.9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $0$ وفي $3$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

خطوة 3.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

خطوة 3.9.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

خطوة 3.9.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

خطوة 3.9.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

خطوة 3.9.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

خطوة 3.9.2.5

اضرب $\frac{2}{3}$ في $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}})$

خطوة 3.9.2.6

اجمع $3^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

خطوة 3.9.2.7

انقُل $2$ إلى يسار $3^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3})$

خطوة 3.9.2.8

انقُل $3^{1}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1}))$

خطوة 3.9.2.9

اضرب $3^{\frac{3}{2}}$ في $3^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.9.1

انقُل $3^{- 1}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}})))$

خطوة 3.9.2.9.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}}))$

خطوة 3.9.2.9.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}))$

خطوة 3.9.2.9.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}))$

خطوة 3.9.2.9.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}))$

خطوة 3.9.2.9.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.9.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}}))$

خطوة 3.9.2.9.6.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3.9.2.10

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3.9.2.11

اطرح $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ من $0$ .

$- \frac{1}{7} (- 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3.9.2.12

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2 (\frac{1}{7}) \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9.2.13

اجمع $2$ و $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.9.2.14

اجمع $\frac{2}{7}$ و $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{7}$

خطوة 4