حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{0.4 x}$ , $y = 5 + x^{2}$ , $x = 2$ , $x = 3$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$e^{0.4 x} = 5 + x^{2}$

خطوة 1.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx 12.83601099 + y = 5 + x^{2}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 12.83601099$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $12.83601099$ .

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $12.83601099$ عن $x$ في $y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 5 + {12.83601099}^{2}$

خطوة 1.3.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 5 + {(12.83601099)}^{2}$

خطوة 1.3.2.3

بسّط $5 + {(12.83601099)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

ارفع $12.83601099$ إلى القوة $2$ .

$y = 5 + 164.76317813$

خطوة 1.3.2.3.2

أضف $5$ و $164.76317813$ .

$y = 169.76317813$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(12.83601099, 169.76317813)$

خطوة 2

أعِد ترتيب $5$ و $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 5$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{2}^{3} x^{2} + 5 d x - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $2$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - (e^{0.4 x}) d x$

خطوة 4.2

اضرب $- 1$ في $e^{0.4 x}$ .

$\int_{2}^{3} x^{2} + 5 - e^{0.4 x} d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{2}^{3} x^{2} d x + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

خطوة 4.4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} 5 d x + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

خطوة 4.5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} + \int_{2}^{3} - e^{0.4 x} d x$

خطوة 4.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{2}^{3} e^{0.4 x} d x$

خطوة 4.7

لنفترض أن $u = 0.4 x$ . إذن $d u = 0.4 d x$ ، لذا $\frac{1}{0.4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

افترض أن $u = 0.4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

أوجِد مشتقة $0.4 x$ .

$\frac{d}{d x} [0.4 x]$

خطوة 4.7.1.2

بما أن $0.4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0.4 \cdot 1$

خطوة 4.7.1.4

اضرب $0.4$ في $1$ .

$0.4$

خطوة 4.7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 0.4 x$ .

$u_{lower} = 0.4 \cdot 2$

خطوة 4.7.3

اضرب $0.4$ في $2$ .

$u_{lower} = 0.8$

خطوة 4.7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 0.4 x$ .

$u_{upper} = 0.4 \cdot 3$

خطوة 4.7.5

اضرب $0.4$ في $3$ .

$u_{upper} = 1.2$

خطوة 4.7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0.8$

$u_{upper} = 1.2$

خطوة 4.7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} e^{u} \frac{1}{0.4} d u$

خطوة 4.8

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \int_{0.8}^{1.2} \frac{e^{u}}{0.4} d u$

خطوة 4.9

بما أن $\frac{1}{0.4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{0.4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - (\frac{1}{0.4} \int_{0.8}^{1.2} e^{u} d u)$

خطوة 4.10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

خطوة 4.11

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}$ و $5 x]_{2}^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{2}^{3} - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

خطوة 4.12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ في $3$ وفي $2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} e^{u}]_{0.8}^{1.2}$

خطوة 4.12.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $1.2$ وفي $0.8$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $27$ .

$\frac{27}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{1} + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.3.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$9 + 5 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.4

اضرب $5$ في $3$ .

$9 + 15 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.5

أضف $9$ و $15$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.6

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$24 - (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.7

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.8

اضرب $5$ في $2$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.9

لكتابة $10$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.10

اجمع $10$ و $\frac{3}{3}$ .

$24 - (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$24 - \frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.3.12.1

اضرب $10$ في $3$ .

$24 - \frac{8 + 30}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.12.2

أضف $8$ و $30$ .

$24 - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.13

لكتابة $24$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.14

اجمع $24$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{24 \cdot 3 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.3.16.1

اضرب $24$ في $3$ .

$\frac{72 - 38}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.16.2

اطرح $38$ من $72$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} ((e^{1.2}) - e^{0.8})$

خطوة 4.12.3.17

لكتابة $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.12.3.18

اجمع $- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{34}{3} + \frac{- \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

خطوة 4.12.3.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{34 - \frac{1}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8}) \cdot 3}{3}$

خطوة 4.12.3.20

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{34 - 3 (\frac{1}{0.4}) (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

خطوة 4.12.3.21

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{0.4}$ .

$\frac{34 + \frac{- 3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

خطوة 4.12.3.22

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{34 - \frac{3}{0.4} (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

خطوة 4.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1.1

اقسِم $3$ على $0.4$ .

$\frac{34 - 1 \cdot 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

خطوة 4.13.1.2

اضرب $- 1$ في $7.5$ .

$\frac{34 - 7.5 (e^{1.2} - e^{0.8})}{3}$

خطوة 4.13.1.3

اضرب $- 7.5$ في $e^{1.2} - e^{0.8}$ .

$\frac{34 - 8.20931995}{3}$

خطوة 4.13.1.4

اطرح $8.20931995$ من $34$ .

$\frac{25.79068004}{3}$

خطوة 4.13.2

اقسِم $25.79068004$ على $3$ .

$8.59689334$

خطوة 5