حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{x}$ , $x = 1$ , $x = 2$ , $y = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = \frac{1}{x}$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{x}$ .

$V = \frac{1^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$V = π \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$V = π - x^{- 1}]_{1}^{2}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $2$ وفي $1$ .

$V = π ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = π (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

خطوة 5.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$V = π (- \frac{1}{2} + 1)$

خطوة 5.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$V = π (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

خطوة 5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{- 1 + 2}{2})$

خطوة 5.2.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$V = π (\frac{1}{2})$

خطوة 5.2.6

اجمع $π$ و $\frac{1}{2}$ .

$V = \frac{π}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{π}{2}$

الصيغة العشرية:

$V = 1.57079632 \dots$

خطوة 7