حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 2$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = 2 x^{2}$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 x^{2}$ .

$V = 2^{2} {(x^{2})}^{2}$

خطوة 2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$V = 4 {(x^{2})}^{2}$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 x^{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$V = 4 x^{4}$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$V = π (4 \int_{0}^{2} x^{4} d x)$

خطوة 4

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$V = 4 π \int_{0}^{2} x^{4} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$V = 4 π \frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}$

خطوة 6.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{5}}{5}$ في $2$ وفي $0$ .

$V = 4 π ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5})$

خطوة 6.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5})$

خطوة 6.2.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{5})$

خطوة 6.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5})$

خطوة 6.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

خطوة 6.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

خطوة 6.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = 4 π (\frac{32}{5} - \frac{0}{1})$

خطوة 6.2.2.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} - 0)$

خطوة 6.2.2.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5} + 0)$

خطوة 6.2.2.5

أضف $\frac{32}{5}$ و $0$ .

$V = 4 π (\frac{32}{5})$

خطوة 6.2.2.6

اجمع $\frac{32}{5}$ و $4$ .

$V = \frac{32 \cdot 4}{5} \cdot π$

خطوة 6.2.2.7

اضرب $32$ في $4$ .

$V = \frac{128}{5} \cdot π$

خطوة 6.2.2.8

اجمع $\frac{128}{5}$ و $π$ .

$V = \frac{128 π}{5}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{128 π}{5}$

الصيغة العشرية:

$V = 80.42477193 \dots$

خطوة 8