حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{2}$ , $y = 4 x$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = 4 x$ و $g (x) = x^{2}$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 x$ .

$V = 4^{2} x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

خطوة 2.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$V = 16 x^{2} - {(x^{2})}^{2}$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

خطوة 2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$V = 16 x^{2} - x^{4}$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{4} 16 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

خطوة 4

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$V = π (16 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - x^{4} d x)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} x^{4} d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{4}))$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$V = π (16 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

خطوة 9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $0$ .

$V = π (16 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{4}))$

خطوة 9.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{5}}{5}$ في $4$ وفي $0$ .

$V = π (16 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (16 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} - 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3} + 0) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.5

أضف $\frac{64}{3}$ و $0$ .

$V = π (16 (\frac{64}{3}) - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.6

اجمع $16$ و $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{16 \cdot 64}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.7

اضرب $16$ في $64$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{4^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.8

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

خطوة 9.2.3.9

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}))$

خطوة 9.2.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.10.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

خطوة 9.2.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.10.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

خطوة 9.2.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

خطوة 9.2.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}))$

خطوة 9.2.3.10.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} - 0))$

خطوة 9.2.3.11

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - (\frac{1024}{5} + 0))$

خطوة 9.2.3.12

أضف $\frac{1024}{5}$ و $0$ .

$V = π (\frac{1024}{3} - \frac{1024}{5})$

خطوة 9.2.3.13

لكتابة $\frac{1024}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5})$

خطوة 9.2.3.14

لكتابة $- \frac{1024}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 9.2.3.15

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.15.1

اضرب $\frac{1024}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 9.2.3.15.2

اضرب $3$ في $5$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 9.2.3.15.3

اضرب $\frac{1024}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

خطوة 9.2.3.15.4

اضرب $5$ في $3$ .

$V = π (\frac{1024 \cdot 5}{15} - \frac{1024 \cdot 3}{15})$

خطوة 9.2.3.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{1024 \cdot 5 - 1024 \cdot 3}{15})$

خطوة 9.2.3.17

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.17.1

اضرب $1024$ في $5$ .

$V = π (\frac{5120 - 1024 \cdot 3}{15})$

خطوة 9.2.3.17.2

اضرب $- 1024$ في $3$ .

$V = π (\frac{5120 - 3072}{15})$

خطوة 9.2.3.17.3

اطرح $3072$ من $5120$ .

$V = π (\frac{2048}{15})$

خطوة 9.2.3.18

اجمع $π$ و $\frac{2048}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2048}{15}$

خطوة 9.2.3.19

انقُل $2048$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{2048 π}{15}$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{2048 π}{15}$

الصيغة العشرية:

$V = 428.93211697 \dots$

خطوة 11