حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3}{x}$ , $x = 7$ , $x = 14$ , $y = 0$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (x)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{7}^{14} {(f (x))}^{2} d x$ حيث $f (x) = \frac{3}{x}$

خطوة 2

بسّط الدالة التكاملية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{x^{2}}$

خطوة 2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$V = \frac{9}{x^{2}}$

خطوة 3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$V = π (9 \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $9$ إلى يسار $π$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} \frac{1}{x^{2}} d x$

خطوة 4.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 4.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$V = 9 π \int_{7}^{14} x^{- 2} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$V = 9 π - x^{- 1}]_{7}^{14}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $14$ وفي $7$ .

$V = 9 π ((- 14^{- 1}) + 7^{- 1})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + 7^{- 1})$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7})$

خطوة 6.2.3

لكتابة $\frac{1}{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 6.2.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $14$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{2}{2}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2})$

خطوة 6.2.4.2

اضرب $7$ في $2$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{14} + \frac{2}{14})$

خطوة 6.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 2}{14})$

خطوة 6.2.6

أضف $- 1$ و $2$ .

$V = 9 π (\frac{1}{14})$

خطوة 6.2.7

اجمع $\frac{1}{14}$ و $9$ .

$V = \frac{9}{14} \cdot π$

خطوة 6.2.8

اجمع $\frac{9}{14}$ و $π$ .

$V = \frac{9 π}{14}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{9 π}{14}$

الصيغة العشرية:

$V = 2.01959527 \dots$

خطوة 8