حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

خطوة 1

لإيجاد حجم المجسّم، حدد أولاً مساحة كل شريحة ثم أوجِد التكامل عبر المدى. مساحة كل شريحة هي مساحة دائرة نصف قطرها $f (y)$ و $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ حيث $f (y) = 2 y$ و $g (y) = \frac{y^{2}}{2}$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 y$ .

$V = 2^{2} y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

خطوة 2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$V = 4 y^{2} - {(\frac{y^{2}}{2})}^{2}$

خطوة 2.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y^{2}}{2}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{{(y^{2})}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب الأُسس في ${(y^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{2 \cdot 2}}{2^{2}}$

خطوة 2.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{2^{2}}$

خطوة 2.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$V = 4 y^{2} - \frac{y^{4}}{4}$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$V = π (\int_{0}^{4} 4 y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

خطوة 4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$V = π (4 \int_{0}^{4} y^{2} d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $y^{3}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{4}}{4} d y)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{4}}{4} d y)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{4} y^{4} d y))$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $y^{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{4})$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $y^{5}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4})$

خطوة 10.1.2

اجمع $\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}$ و $\frac{1}{4}$ .

$V = π (4 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{4}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

خطوة 10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\frac{y^{3}}{3}$ في $4$ وفي $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{4}}{4})$

خطوة 10.2.2

احسِب قيمة $\frac{y^{5}}{5}$ في $4$ وفي $0$ .

$V = π (4 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (4 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} - 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3} + 0) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.5

أضف $\frac{64}{3}$ و $0$ .

$V = π (4 (\frac{64}{3}) - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.6

اجمع $4$ و $\frac{64}{3}$ .

$V = π (\frac{4 \cdot 64}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.7

اضرب $4$ في $64$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{(\frac{4^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.8

ارفع $4$ إلى القوة $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0^{5}}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.9

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.10

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.10.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 (0)}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.10.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

خطوة 10.2.3.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}}{4})$

خطوة 10.2.3.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - \frac{0}{1}}{4})$

خطوة 10.2.3.10.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} - 0}{4})$

خطوة 10.2.3.11

اضرب $- 1$ في $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5} + 0}{4})$

خطوة 10.2.3.12

أضف $\frac{1024}{5}$ و $0$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{\frac{1024}{5}}{4})$

خطوة 10.2.3.13

أعِد كتابة $\frac{\frac{1024}{5}}{4}$ في صورة حاصل ضرب.

$V = π (\frac{256}{3} - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{1}{4}))$

خطوة 10.2.3.14

اضرب $\frac{1024}{5}$ في $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{5 \cdot 4})$

خطوة 10.2.3.15

اضرب $5$ في $4$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{1024}{20})$

خطوة 10.2.3.16

احذِف العامل المشترك لـ $1024$ و $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.16.1

أخرِج العامل $4$ من $1024$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 (256)}{20})$

خطوة 10.2.3.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.16.2.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

خطوة 10.2.3.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{4 \cdot 256}{4 \cdot 5})$

خطوة 10.2.3.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$V = π (\frac{256}{3} - \frac{256}{5})$

خطوة 10.2.3.17

لكتابة $\frac{256}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5})$

خطوة 10.2.3.18

لكتابة $- \frac{256}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 10.2.3.19

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.19.1

اضرب $\frac{256}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 10.2.3.19.2

اضرب $3$ في $5$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256}{5} \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 10.2.3.19.3

اضرب $\frac{256}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{5 \cdot 3})$

خطوة 10.2.3.19.4

اضرب $5$ في $3$ .

$V = π (\frac{256 \cdot 5}{15} - \frac{256 \cdot 3}{15})$

خطوة 10.2.3.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$V = π (\frac{256 \cdot 5 - 256 \cdot 3}{15})$

خطوة 10.2.3.21

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.21.1

اضرب $256$ في $5$ .

$V = π (\frac{1280 - 256 \cdot 3}{15})$

خطوة 10.2.3.21.2

اضرب $- 256$ في $3$ .

$V = π (\frac{1280 - 768}{15})$

خطوة 10.2.3.21.3

اطرح $768$ من $1280$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

خطوة 10.2.3.22

اجمع $π$ و $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

خطوة 10.2.3.23

انقُل $512$ إلى يسار $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$V = \frac{512 π}{15}$

الصيغة العشرية:

$V = 107.23302924 \dots$

خطوة 12