حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - x + 2$ , $y = x^{2}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$- x + 2 = x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 2 = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- x + 2 - x^{2} = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x + 2 - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1.1

انقُل $2$ .

$- x - x^{2} + 2 = 0$

خطوة 1.2.2.1.1.2

أعِد ترتيب $- x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 2 = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 2 = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 2 = 0$

خطوة 1.2.2.1.4

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.2.2.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 2 = 0$

خطوة 1.2.2.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} + x) - 1 (- 2)$ .

$- (x^{2} + x - 2) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

حلّل $x^{2} + x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2 + y = x^{2}$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 1) (x + 2)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 1) (x + 2) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = x^{2}$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 1.2.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 1) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 2$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$y = {(1)}^{2}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $1$ عن $x$ في $y = {(1)}^{2}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 1^{2}$

خطوة 1.3.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = 1$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ .

$y = {(- 2)}^{2}$

خطوة 1.4.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$y = 4$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(1, 1)$

$(- 2, 4)$

$(1, 1)$

$(- 2, 4)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 2}^{1} - x + 2 d x - \int_{- 2}^{1} x^{2} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 2$ و $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 2}^{1} - x + 2 - (x^{2}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $- 1$ في $x^{2}$ .

$\int_{- 2}^{1} - x + 2 - x^{2} d x$

خطوة 3.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 2}^{1} - x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

خطوة 3.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 d x + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

خطوة 3.7

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - x^{2} d x$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} x^{2} d x$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1})$

خطوة 3.10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

خطوة 3.10.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $1$ وفي $- 2$ .

$- ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 2}^{1} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

خطوة 3.10.2.2

احسِب قيمة $2 x$ في $1$ وفي $- 2$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

خطوة 3.10.2.3

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $1$ وفي $- 2$ .

$- (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.2

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$- (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- (\frac{1}{2} - 2) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.5

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.6

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.8.1

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- \frac{1 - 4}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.8.2

اطرح $4$ من $1$ .

$- \frac{- 3}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- - \frac{3}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.11

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$\frac{3}{2} + 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.12

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{3}{2} + 2 - 2 \cdot - 2 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.13

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{3}{2} + 2 + 4 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.14

أضف $2$ و $4$ .

$\frac{3}{2} + 6 - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.15

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.16

اجمع $6$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 + 6 \cdot 2}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.18

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.18.1

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{3 + 12}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.18.2

أضف $3$ و $12$ .

$\frac{15}{2} - ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.19

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

خطوة 3.10.2.4.20

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3})$

خطوة 3.10.2.4.21

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3})$

خطوة 3.10.2.4.22

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

خطوة 3.10.2.4.23

اضرب $\frac{8}{3}$ في $1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{1}{3} + \frac{8}{3})$

خطوة 3.10.2.4.24

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{15}{2} - \frac{1 + 8}{3}$

خطوة 3.10.2.4.25

أضف $1$ و $8$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{3}$

خطوة 3.10.2.4.26

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.26.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3}$

خطوة 3.10.2.4.26.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.26.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

خطوة 3.10.2.4.26.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

خطوة 3.10.2.4.26.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{15}{2} - \frac{3}{1}$

خطوة 3.10.2.4.26.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{15}{2} - 1 \cdot 3$

خطوة 3.10.2.4.27

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{15}{2} - 3$

خطوة 3.10.2.4.28

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 3.10.2.4.29

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.10.2.4.30

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 3.10.2.4.31

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.2.4.31.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{15 - 6}{2}$

خطوة 3.10.2.4.31.2

اطرح $6$ من $15$ .

$\frac{9}{2}$

خطوة 4