حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 y^{2} - \sqrt{x} = 12$ , $(16, 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 16$ و $y = 2$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 12$

خطوة 1.2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (12)$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 y^{2} - x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.4

اضرب $2$ في $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 y y' - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 1.3.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.3.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.3.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.3.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 1.3.3.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 1.3.3.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 y y' - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 1.3.3.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 y y' - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 1.3.3.9

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.4

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 1.5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$8 y y' - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 1.6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أضف $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ إلى كلا المتعادلين.

$8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.6.2

اقسِم كل حد في $8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ على $8 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

اقسِم كل حد في $8 y y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ على $8 y$ .

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

خطوة 1.6.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 y y'}{8 y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

خطوة 1.6.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

خطوة 1.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

خطوة 1.6.2.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{8 y}$

خطوة 1.6.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 y}$

خطوة 1.6.2.3.2

اجمع.

$y' = \frac{1 \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} (8 y)}$

خطوة 1.6.2.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.3.3.1

اضرب $1$ في $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 y}$

خطوة 1.6.2.3.3.2

اضرب $8$ في $2$ .

$y' = \frac{1}{16 x^{\frac{1}{2}} y}$

خطوة 1.6.2.3.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{1}{16 x^{\frac{1}{2}} y}$ .

$y' = \frac{1}{16 y x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{16 y x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8

احسِب القيمة عند $x = 16$ و $y = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $16$ في العبارة.

$\frac{1}{16 y {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.2

استبدِل المتغير $y$ بـ $2$ في العبارة.

$\frac{1}{16 (2) {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 1.8.3

اضرب $16$ في ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.1

انقُل ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(16)}^{\frac{1}{2}} \cdot 16 \cdot 2}$

خطوة 1.8.3.2

اضرب ${(16)}^{\frac{1}{2}}$ في $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.3.2.1

ارفع $16$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{(16)}^{\frac{1}{2}} \cdot 16^{1} \cdot 2}$

خطوة 1.8.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{16^{\frac{1}{2} + 1} \cdot 2}$

خطوة 1.8.3.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{16^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2}$

خطوة 1.8.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{16^{\frac{1 + 2}{2}} \cdot 2}$

خطوة 1.8.3.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{16^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

خطوة 1.8.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $2^{4}$ .

$\frac{1}{{(2^{4})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

خطوة 1.8.4.2

اضرب الأُسس في ${(2^{4})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{4 (\frac{3}{2})} \cdot 2}$

خطوة 1.8.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2^{2 (2) \frac{3}{2}} \cdot 2}$

خطوة 1.8.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2^{2 \cdot 2 \frac{3}{2}} \cdot 2}$

خطوة 1.8.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2^{2 \cdot 3} \cdot 2}$

خطوة 1.8.4.2.3

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{2^{6} \cdot 2}$

خطوة 1.8.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2^{6 + 1}}$

خطوة 1.8.4.4

أضف $6$ و $1$ .

$\frac{1}{2^{7}}$

خطوة 1.8.5

ارفع $2$ إلى القوة $7$ .

$\frac{1}{128}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{128}$ ونقطة مُعطاة $(16, 2)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{128} \cdot (x - (16))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 2 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{128} \cdot (x - 16)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 2 = \frac{1}{128} \cdot (x - 16)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 2 = \frac{1}{128} x + \frac{1}{128} \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{128}$ و $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{128} \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.5.1

أخرِج العامل $16$ من $128$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 (8)} \cdot - 16$

خطوة 2.3.1.5.2

أخرِج العامل $16$ من $- 16$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{16 \cdot 8} \cdot (16 \cdot - 1)$

خطوة 2.3.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{1}{8} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.6

اجمع $\frac{1}{8}$ و $- 1$ .

$y - 2 = \frac{x}{128} + \frac{- 1}{8}$

خطوة 2.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 2 = \frac{x}{128} - \frac{1}{8}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 2$

خطوة 2.3.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع $2$ و $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{x}{128} - \frac{1}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}$

خطوة 2.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 2 \cdot 8}{8}$

خطوة 2.3.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.5.1

اضرب $2$ في $8$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{- 1 + 16}{8}$

خطوة 2.3.2.5.2

أضف $- 1$ و $16$ .

$y = \frac{x}{128} + \frac{15}{8}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{128} x + \frac{15}{8}$

خطوة 3