حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ , $(2, 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 2$ و $y = 6$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 x}{{(2 x - 5)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 x - 5)}^{2}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب الأُسس في ${({(2 x - 5)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.3.3

اضرب ${(2 x - 5)}^{2}$ في $1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{2}]}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 2 x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 5$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - x (2 (2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 \frac{{(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.5.2

أخرِج العامل $2 x - 5$ من ${(2 x - 5)}^{2} - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $2 x - 5$ من ${(2 x - 5)}^{2}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) - 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.5.2.2

أخرِج العامل $2 x - 5$ من $- 2 x ((2 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x - 5])$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.5.2.3

أخرِج العامل $2 x - 5$ من $(2 x - 5) (2 x - 5) + (2 x - 5) (- 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{{(2 x - 5)}^{4}}$

خطوة 1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أخرِج العامل $2 x - 5$ من ${(2 x - 5)}^{4}$ .

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{(2 x - 5) (2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5]))}{(2 x - 5) {(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x - 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.10

اضرب $2$ في $1$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.11

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.12.1

أضف $2$ و $0$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 2 x \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.12.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$3 \frac{2 x - 5 - 4 x}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.12.3

اطرح $4 x$ من $2 x$ .

$3 \frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.12.4

اجمع $3$ و $\frac{- 2 x - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (- 2 x) + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.2.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6 x + 3 \cdot - 5}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.2.2

اضرب $3$ في $- 5$ .

$\frac{- 6 x - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.3

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.13.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x$ .

$\frac{3 (- 2 x) - 15}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.3.2

أخرِج العامل $3$ من $- 15$ .

$\frac{3 (- 2 x) + 3 (- 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.3.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (- 2 x) + 3 (- 5)$ .

$\frac{3 (- 2 x - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.5

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (5)$ .

$\frac{3 (- (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.7

أعِد كتابة $- (2 x + 5)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 5)$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x + 5))}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.13.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 (2 x + 5)}{{(2 x - 5)}^{3}}$

خطوة 1.14

احسِب قيمة المشتق في $x = 2$ .

$- \frac{3 (2 (2) + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

خطوة 1.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{3 (4 + 5)}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

خطوة 1.15.1.2

أضف $4$ و $5$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(2 (2) - 5)}^{3}}$

خطوة 1.15.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.2.1

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(4 - 5)}^{3}}$

خطوة 1.15.2.2

اطرح $5$ من $4$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{{(- 1)}^{3}}$

خطوة 1.15.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{3 \cdot 9}{- 1}$

خطوة 1.15.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.15.3.1

اضرب $3$ في $9$ .

$- \frac{27}{- 1}$

خطوة 1.15.3.2

اقسِم $27$ على $- 1$ .

$- - 27$

خطوة 1.15.3.3

اضرب $- 1$ في $- 27$ .

$27$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $27$ ونقطة مُعطاة $(2, 6)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 27 \cdot (x - (2))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $27 \cdot (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 6 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 6 = 27 \cdot (x - 2)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 6 = 27 x + 27 \cdot - 2$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $27$ في $- 2$ .

$y - 6 = 27 x - 54$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 27 x - 54 + 6$

خطوة 2.3.2.2

أضف $- 54$ و $6$ .

$y = 27 x - 48$

خطوة 3