حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{36}{x^{2} + 2}$ , $(1, 12)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 12$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{36}{x^{2} + 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$ .

$36 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}]$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 2}$ بالصيغة ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ .

$36 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 2$ .

$36 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$36 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 2$ .

$36 (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $36$ .

$- 36 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

خطوة 1.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 1.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0)$

خطوة 1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- 36 {(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x)$

خطوة 1.3.5.2

اضرب $2$ في $- 36$ .

$- 72 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 72 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اجمع $- 72$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

خطوة 1.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

خطوة 1.4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 72}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.2.4

انقُل $72$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{72 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1.5

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$- \frac{72 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $72$ في $1$ .

$- \frac{72}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 1.6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{72}{{(1 + 2)}^{2}}$

خطوة 1.6.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$- \frac{72}{3^{2}}$

خطوة 1.6.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{72}{9}$

خطوة 1.6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

اقسِم $72$ على $9$ .

$- 1 \cdot 8$

خطوة 1.6.3.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $- 8$ ونقطة مُعطاة $(1, 12)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (12) = - 8 \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $- 8 \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 12 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 12 = - 8 \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 12 = - 8 x - 8 \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$y - 12 = - 8 x + 8$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $12$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - 8 x + 8 + 12$

خطوة 2.3.2.2

أضف $8$ و $12$ .

$y = - 8 x + 20$

خطوة 3