حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{2 x + 1}{x + 2}$ , $(1, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 1$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x + 1$ و $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.2.10.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x + 2) - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x + 1)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x + 2 \cdot 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 x + 4 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x + 4 - 2 x - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x + 4 - 2 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{0 + 4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$\frac{4 - 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.3

اطرح $1$ من $4$ .

$\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4

احسِب قيمة المشتق في $x = 1$ .

$\frac{3}{{((1) + 2)}^{2}}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{3}{9}$

خطوة 1.5.2

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

خطوة 1.5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 1.5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

خطوة 1.5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3}$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $\frac{1}{3}$ ونقطة مُعطاة $(1, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{1}{3} \cdot (x - (1))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط $\frac{1}{3} \cdot (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$y - 1 = \frac{1}{3} \cdot (x - 1)$

خطوة 2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.4

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1$

خطوة 2.3.1.5

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$y - 1 = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

خطوة 2.3.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 1 = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + 1$

خطوة 2.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

خطوة 2.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 + 3}{3}$

خطوة 2.3.2.4

أضف $- 1$ و $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3}$

خطوة 3