حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(1 + 5 x)}^{15}$ , $(0, 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول واحسِب القيمة عند $x = 0$ و $y = 1$ لإيجاد ميل خط المماس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{15}$ و $g (x) = 1 + 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 15$ .

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

خطوة 1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 5 x$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [1 + 5 x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 1.2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 1.2.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(1 + 5 x)}^{14} (5 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.2.5

اضرب $5$ في $15$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14} \cdot 1$

خطوة 1.2.7

اضرب $75$ في $1$ .

$75 {(1 + 5 x)}^{14}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة المشتق في $x = 0$ .

$75 {(1 + 5 (0))}^{14}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

اضرب $5$ في $0$ .

$75 {(1 + 0)}^{14}$

خطوة 1.4.2

أضف $1$ و $0$ .

$75 \cdot 1^{14}$

خطوة 1.4.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$75 \cdot 1$

خطوة 1.4.4

اضرب $75$ في $1$ .

$75$

خطوة 2

عوّض بقيمتَي الميل والنقطة في قاعدة ميل النقطة وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم الميل $75$ ونقطة مُعطاة $(0, 1)$ للتعويض بقيمتَي $x_{1}$ و $y_{1}$ في شكل ميل النقطة $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ ، المشتق من معادلة الميل $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 75 \cdot (x - (0))$

خطوة 2.2

بسّط المعادلة واتركها بِشكل ميل النقطة.

$y - 1 = 75 \cdot (x + 0)$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أضف $x$ و $0$ .

$y - 1 = 75 x$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y = 75 x + 1$

خطوة 3